Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının $5$ birim karesine birer bilye yerleştirilecektir. Bu yerleştirme, herhangi bir satır ile herhangi bir sütunun birleşiminde en az bir bilye bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 5760  \qquad\textbf{b)}\ 5870  \qquad\textbf{c)}\ 5940  \qquad\textbf{d)}\ 6050  \qquad\textbf{e)}\ 6130$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Aynı anda hem boş bir satır, hem de boş bir sütun bulunmamalıdır. Peki boş satır yok ama boş sütun olsa olur mu? Ya da boş sütun yokken, boş satır var olabilir mi? Evet. Bilye koyduğumuz kareleri $x$ ile işaretleyelim. Bunları aşağıdaki şekillerden inceleyebiliriz:

$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 x  &  &  & & \\ \hline
 x &  &  &  & \\ \hline
 & x &  &  & \\ \hline
 &  x &  &  &  \\ \hline
 &   & \text{   }  & \text{   }  & x \\ \hline
\end{array}
$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 x  & x &  & &  \\ \hline
  &  &  & x & \\ \hline
 &  & x &  & \\ \hline
 &   &  &  &  \\ \hline
 &   & \text{   }  & \text{   }  & x \\ \hline
\end{array}
$

Yani, her satırda bir bilye bulunan durumlar ($A$ diyelim) veya her sütunda bir bilye bulunan durumlar ($B$ diyelim) istenen durumları oluşturmaktadır. $s(A) = s(B) = 5^5 = 3125$ tir. Ayrıca, bunların kesişimini incelersek, her bir satırda ve her bir sütunda yalnız bir bilye bulunur. Bunların sayısı da $s(A\cap B) = 5! = 120$ dir. O halde içerme dışarma prensibi ile,

$$s(A\cup B) = s(A) + s(B) - s(A\cap B) = 2\cdot 3125 - 120 = 6130$$

elde edilir.