AÜMO 2021 2. AŞAMA SORUSU

[NazifYILMAZ]

Müsait olan arkadaşlar bakabilir mi

[alpercay]

Kısa çözüm: Denklemi düzenlerseniz $$(x-72)\cdot (y-72)=72^2=2^6\cdot 3^4$$ şeklinde yazılır. Buna göre $72^2$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısına bakmak yeterli; yani aranan yanıt $(6+1)(4+1)=35$ olmalı. Bu tür kesirlere mısır kesri de deniyor.

[NazifYILMAZ]

Teşekkür ederim.

[alpercay]

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{n}$ veya $xy-xn-yn=0$ yazabiliriz. Her iki tarafa $n^2$ eklersek $xy-xn-yn+n^2=(x-n)(y-n)=n^2$ eşitliğini elde ederiz.

Dolayısıyla $n^2$ sayısının pozitif tam bölenleri sayısınca $(x,y)$ pozitif tamsayı ikilisi vardır.

Bu soruyla ilgili  https://geomania.org/forum/index.php?topic=8312.0  bağlantısını inceleyebilirsiniz.