2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 15

[matematikolimpiyati]

$f : \mathbb Z^+ \to \mathbb R^+$ fonksiyonu, her $x,y \in \mathbb Z^+$ için,
$$3f(x+y)[f(x)+f(y)+2xy \cdot f(xy)]=2f(xy)$$
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, $(m,n)=1$ olmak üzere, $f(1)=\dfrac{m}{n}$ ise $m^2+n^2$ kaçtır?

(Not : Burada, $\mathbb Z^+$ ve $\mathbb R^+$ pozitif tam sayılar ve pozitif reel sayılar kümelerini göstermektedir.)

[diktendik]

 Verilen ifadede yazılacak $(x,y)$ ikililerini $P(x,y)$ olarak gösterelim.
$P(1,1)$ $:$ $3f(2)\cdot{4f(1)} = 2f(1)$ $\Rightarrow$ $f(2) = \frac{1}{6}$
$P(2,2) : 3f(4)\cdot(2f(2)+8f(4)) = 2f(4) \Rightarrow f(4) = \frac{1}{24}$
$P(1,3) : 3f(4)\cdot(f(1)+7f(3)) = 2f(3) \Rightarrow 9f(3)=f(1)$
$P(1,2) : 3f(3)\cdot(f(1)+5f(2)) = 2f(2) \Rightarrow 9f(3)\cdot(6f(1)+5)=6 \Rightarrow 6f(1)^2+5f(1)-6=0$
$f(1) = \frac{-5+\sqrt{25+4\cdot6\cdot6}}{12} = \frac{2}{3} (f(1)\in\mathbb R^+ olduğundan)$
$m^2+n^2 = 2^2+3^2 = 13$