2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 07

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki şekilde $\triangle ABC$ ve $\triangle FEC$ eşkenar üçgenlerdir. $E$ noktası $[AB]$ doğru parçası üzerinde, $|AE|=5$ ve $|EC|=7$ ise $|BD|$ uzunluğunun 10 katı kaçtır?

[diktendik]

$m(\widehat {ACE})= \alpha^\circ$ olsun.$m(\widehat {EAC})= m(\widehat {EFC})=60^\circ$ oldugundan AECF çemberseldir. $m(\widehat {ECB})=m(\widehat {ACE})= (60-\alpha)^\circ$ oldugundan ve cembersellikten $\triangle{CBE}$ ve $\triangle{ACF}$ eştir. $|EB|=|AF|=x$ olsun. $\triangle{AEF} \sim \triangle{EBD}$'den $|DB|= \frac{a^2}{5}$ tir. $\triangle{EBC}$'nde kosinüs teoreminden $7^2 = a^2+(a+5)^2-2\cdot{a}\cdot{(a+5)}\cdot{\cos{60}}$ elde edilir. Buradan
$a^2+5a-24 = 0$ ve $a=3$ gelir. Buradan $|BD|=\frac{a^2}{5} = \frac{9}{5}$ gelir. $|BD|$ nin 10 katı 18'dir.