2021 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 06

[matematikolimpiyati]

Yukarıdaki şekilde $ABCDE$ bir düzgün beşgen, $AKLMNO$ bir düzgün altıgen ve $L,C,D,N$ noktaları doğrudaştır. $ABCDE$ düzgün beşgeninin bir kenarı $3$ ve düzgün altıgenin bir kenarı $a$ ise $a^2$ sayısının tam değeri kaçtır? (Bir $x$ sayısının tam değeri, $x$ sayısından büyük olmayan en büyük tam sayıdır.)

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 11  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 13$

[diktendik]

$AM$ $\cap$ $CD$ $=$ $T$ olsun. $|CT|$ $=$ $|DT|$ olur. $|DT|$ $=$ $\frac{3}{2}$ olur. Ayrıca düzgün altıgenden $|AT|$ $=$ $\frac{3a}{2}$'dir. $\triangle{ATD}$'nden $\tan18$ $=$ $\frac{1}{a}$ gelir.
$\tan18$ $=$ $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ olduğundan $\frac{1}{a}$ $=$ $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ gelir. Buradan $a^2$ $=$ $\frac{10+2\sqrt{5}}{6-2\sqrt{5}}$ olur. Düzenlenirse $a^2$ $=$ $5+2\sqrt{5}$ olur. $\lfloor{a^2}\rfloor$ $=$ $\lfloor{5+2\sqrt{5}}\rfloor$ olur. $4$ $\lt$ $2\sqrt5$ $\lt$ $5$ olduğundan $\lfloor{a^2}\rfloor$ $=$ $9$ olur.

Biraz daha değişik yol

$\tan18$ pek hatırlanabilir olmasada $36^\circ$'nin trigonometrik oranlarının bilinmesi (veya ispatlanması) daha olasıdır. $\triangle{AED}$'nde $E$'den dik inip $cos36 = \frac{\sqrt5+1}{4}$'dan yararlanarak $|AD| = \frac{3(\sqrt5+1)}{2}$ elde edilir. $\triangle{ATD}$'nde pisagordan $(\sqrt5+1)^2 = a^2+1$ elde edilir. Buradan $a^2 = 2\sqrt5+5$ elde edilir.