$f(1)=1$ olduğu barizdir. Şimdi herhangi bir n pozitif tam sayı ve her $i\in \{1,2,\cdots,n\}$ için $f(i)=i^{3}$ ise $f(n+1)=(n+1)^{3}$ olduğunu ispatlayalım.
$\sum_{k=1}^{n+1}f(k)=\frac{n^{2}(n+1)^{2}+4f(n+1)}{4}$ sayısı tam kareyse $n^{2}(n+1)^{2}+4f(n+1)$ sayısı da tam kare olmalıdır, işlemlerimizi bu sayı üzerinden yapalım. $f(n+1)\mid (n+1)^{3}$ olduğu için herhangi bir $d$ pozitif tam sayısı için $f(n+1)=\frac{(n+1)^{3}}{d}$ diyebiliriz. Yerine yazarsak,
$\frac{dn^{2}{(n+1)}^{2}+4(n+1)^{3}}{d}$ sayısının tam kare olması gerektiğini görürüz. $\frac{dn^{2}{(n+1)}^{2}+4(n+1)^{3}}{d}$ yerine $d(dn^{2}{(n+1)}^{2}+4(n+1)^{3})$ yazarsak tam kare olma durumu değişmeyeceği için işlemlerimizi bu sayıya göre uygulayabiliriz.
$d(dn^{2}{(n+1)}^{2}+4(n+1)^{3})=d(n+1)^{2}(dn^{2}+4n+4)$ olduğu için $d(dn^{2}+4n+4)=d^{2}n^{2}+4nd+4d$ sayısının da tam kare olduğu görülebilir. $d>1$ için,
$d^{2}n^{2}+4nd+4d\ge d^{2}n^{2}+6nd+9$ eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Buradan,
$2d(2-n)\ge 9$ olduğunu görürüz ki bu $n>1$ için doğru değildir. Bundan dolayı $d=1$ olmalıdır ki bu $f(n+1)=(n+1)^{3}$ olduğu anlamına gelir.
