Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta tahtaya birbirinden farklı $u$ ve $v$ tam sayıları yazılmıştır. Her adımda, aşağıdaki iki işlemden biri yapılıyor :

     (i) $a$ ve $b$ tahtada yazılı birbirinden farklı iki tam sayı olmak üzere, $a+b$ sayısı tahtada yazılı değilse $a+b$ sayısını tahtaya yazabiliriz.

     (ii) $a$, $b$ ve $c$ tahtada yazılı birbirinden farklı üç tam sayı olmak üzere, $ax^2+bx+c=0$ denklemini sağlayan bir $x$ tam sayısı tahtada yazılı değilse $x$ tam sayısını tahtaya yazabiliriz.

Herhangi bir tam sayının sonlu sayıda işlem sonucunda tahtaya yazılabilmesini mümkün kılan tüm $(u,v)$ başlangıç ikililerini bulunuz.

(Slovakya)