Genelleştirilmiş APMO 2005 #2

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Tüm $abc=\lambda^3$ koşulunu sağlayan pozitif reel sayılar $a,b,c$ için


$$\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3\right)\left(1+a^3\right)}}\geq \dfrac{4}{\dfrac{\lambda^6+8}{3\lambda^2\left(3\lambda^2+2\right)}+2}$$


eşitsizliğinin çalıştığını gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda=2$$
verildiğinde problem APMO 2005 #2'e dönüşür ve minimum değer
$$\dfrac{4}{\dfrac{\lambda^6+8}{3\lambda^2\left(3\lambda^2+2\right)}+2}=\dfrac{4}{3}$$
olarak elde edilir.