Genelleştirilmiş Balkan MO Shortlist 2016 #A.2

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$\sum\limits_{cyc- i}{\dfrac{x_i}{x_{i+1}x_{i+2}\cdots x_{i-1}}}\leq \sum\limits_{cyc}{a_1}$  koşulunu sağlayan her $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reelleri için


$$\sum_{cyc- j}{\dfrac{1}{x_j^2+x_{j+1}^2+\cdots+x_{j+k}^2+x_{j+k+1}+\cdots+x_{j-1}}}\leq 1$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$\sum\limits_{cyc- i}{\dfrac{x_i}{x_{i+1}x_{i+2}\cdots x_{i-1}}}\leq \sum\limits_{cyc}{a_1}$  koşulunu sağlayan her $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reelleri için


$$\sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^{p-2}}{\left(x_j^p+x_{j+1}^p+\cdots+x_{j+k}^p+x_{j+k+1}+\cdots+x_{j-1}\right)\left(k+1+x_{j+k+1}+x_{j+k+2}+\cdots+x_{j-1}\right)}}\leq 1$$


olduğunu gösteriniz.