Üçgen içerisinde P noktası, Model 1.7

[geo]

$ABC$ üçgeni içerisinde alınan $P$ noktası için $\angle ABP = 30^\circ$, $PBC = 2t$, $\angle BCP = 90^\circ - 3t$ ve $PCA= 30^\circ - t$ ise $\angle CAP=t$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Dikkat edilirse $\angle BAC = \angle ABC = 30^\circ + 2t$. $BC=AC$.
$[BP$ ışını üzerinde $BC = CD$ olacak şekilde $D$ noktası alalım. $\angle BCD = 180^\circ - 4t$ ve $\angle ACD = 60^\circ$. Bu durumda $\triangle ACD$ eşkenardır.
$\angle CPD = \angle PCD = 90^\circ - t$ olduğu için $DP = DC = DA$.
$\angle PDA = 60^\circ - 2t$ ve $\angle DAP = \angle DPA = 60^\circ + t$ olduğu için $\angle BAP = 30^\circ + t$ ve $\angle PAC = t$ olacaktır.

[geo]

$\angle BAC = \angle ABC = 30^\circ + 2t$ ve $BC=AC$.

$\triangle BAP$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle POA = 2\angle ABP = 60^\circ$. $OB=OP=OA=AP$.

$AOBC$ bir deltoid. Bu durumda $\angle BCO = \angle OCA = 60^\circ - 2t$ ve $\angle OCP = \angle PCA = 30^\circ - t$.

$\triangle POC$ ve $\triangle PAC$ üçgenlerine bakalam. $PO = PA$, $\angle OCP = \angle ACP$ olduğu için bu iki üçgenin çevrel yarıçapları eşittir.
Bu durumda $PC$ yi gören açılar için $\sin \angle POC = \sin \angle PAC$ olmalı. $\angle POC + \angle PAC = 180^\circ$ olamayacağı için $\angle POC = \angle PAC$. Dolayısıyla $\angle POC + \angle PAC + \angle OCA = \angle OPA = 60^\circ$ olduğu için $\angle PAC = t$ olacaktır.