Genelleştirme 1
$a_1+a_2+\cdots+a_{4k}=2$ eşitliğini sağlayan tüm $a_1,a_2,\cdots,a_{4k}$ pozitif reelleri için
$$\dfrac{\left(a_1+a_3+\cdots+a_{4k-1}\right)^2}{\sum\limits_{j=1}^{2k}{\left(a_j\sum\limits_{\substack{i=2k+2-\text{mod}(j+1)\\ i\equiv \text{mod}(j)}}^{4k-\text{mod}(j+1)}{a_i}\right)}}+\dfrac{\left(a_2+a_4+\cdots+a_{4k}\right)^2}{\sum\limits_{j=1}^{2k}{\left(a_j\sum\limits_{\substack{i=2k+2-\text{mod}(j)\\ i\equiv \text{mod}(j)}}^{4k-\text{mod}(j)}{a_i}\right)}}+4\geq 4\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{2k}+1}{a_{2k+1}+a_{2k+2}+\cdots+a_{4k}+1}+\dfrac{a_{2k+1}+a_{2k+2}+\cdots+a_{4k}+1}{a_1+a_2+\cdots+a_{2k}+1}\right)$$
olduğunu gösteriniz.
Not: Bu benim Geomania forumundaki tam olarak 500. iletim. Karışığıyla basitiyle, daireseliyle simetriğiyle, toplamıyla çarpımıyla türlü türlü koşullar içeren hepsi kendime ait genelleştirmeleri paylaşmaya çalıştım. İspatlarını da yazarken olabildiğinde elementer bir biçim verdim. Gerek ülkemizden gerek IMO'dan gerek küçük IMO olarak adlandırılan JBMO, BMO ve APMO gibi problemlerin genel hallerini foruma yükledim.
Bu eşitsizlik problemlerini bir kitap olarak topladığımı ve neredeyse hazır olduğunu söyleyebilirim. İsteyen kişilere prototipini atabilirim ki uygun olursa foruma da ekleyeceğim.
