Genelleştirilmiş Türkiye TST 2011 #5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 3\beta\left(\lambda_3-p\right)$ koşulunu sağlayan tüm pozitif $a,b,c,\lambda_i,\beta$ gerçel sayıları için


$$\dfrac{(a+\beta)(b+2\beta)}{(b+\lambda_1)(b+\lambda_2)}+\dfrac{(b+\beta)(c+2\beta)}{(c+\lambda_1)(c+\lambda_2)}+\dfrac{(c+\beta)(a+2\beta)}{(a+\lambda_1)(a+\lambda_2)}\geq \dfrac{8\left(2\beta\left(\lambda_1+\lambda_2-2\beta\right)-\lambda_1\lambda_2\right)}{\left(\lambda_1-\lambda_2\right)^2}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 2\left(a+b+c\right)\left(\lambda_3-2\beta\right)+3\beta\left(\lambda_3-p\right)$ koşulunu sağlayan tüm pozitif $a,b,c,\lambda_i,\beta$ gerçel sayıları için


$$\dfrac{(a+\beta)(b+\lambda_3)}{(b+\lambda_1)(b+\lambda_2)}+\dfrac{(b+\beta)(c+\lambda_3)}{(c+\lambda_1)(c+\lambda_2)}+\dfrac{(c+\beta)(a+\lambda_3)}{(a+\lambda_1)(a+\lambda_2)}\geq \dfrac{8\left(\lambda_3\left(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3\right)-\lambda_1\lambda_2\right)}{\left(\lambda_1-\lambda_2\right)^2}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda_1=1,\lambda_2=5,\lambda_3=2,\beta=1$$
verildiğinde problem Türkiye TST 2011 #5'e dönüşür ve minimum değer $\dfrac32$ olarak elde edilir.