Genelleştirilmiş Türkiye Olympic Revenge Shortlist 2023 #A.1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,\beta,\lambda$ pozitif reeller olmak üzere


$$\sqrt{\lambda a^2+\beta b^2}+\sqrt{\lambda b^2+\beta c^2}+\sqrt{\lambda c^2+\beta a^2}\geq \sqrt{\left(\lambda +\beta+2min(\lambda,\beta)\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\left(max(\lambda,\beta)\right)}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a_1,a_2 \cdots,a_n,\lambda,\beta$ pozitif reeller ve $n\geq 3$ tam sayı olmak üzere


$$\sum_{cyc- j}{\sqrt{\lambda a_j^2+\beta a_{j+1}^2}}\geq \sqrt{\left(\lambda +\beta+min(\lambda,\beta)\right)\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\right)+2\left(max(\lambda,\beta)\right)\sum_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda=1,\beta=3,n=3$$
verilirse problem Muhammed Kızılkaya'nın oluşturduğu Türkiye Olympic Revenge Shortlist 2023 #A.1'e dönüşür ve $LHS\geq \sqrt{6\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}$ elde edilir.