Genelleştirilmiş IMO Shortlist 1995 #A.3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$i=1,2,\cdots,n$ için $\lambda \leq a_i\leq \dfrac{\lambda\left(2j-3\right)}{j-1}$ eşitsizliğini sağlayan her $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reelleri ($n\geq j$) için $s=a_1+a_2+\cdots+a_n$ ise


$$\sum_{cyc-i}{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2+\cdots+a_{i+j-2}^2-a_{i+j-1}^2}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}} \leq \left(j-1\right)s-\dfrac{\lambda n\left(3j-7\right)}{2}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$j=3,\lambda_2$$
verildiğinde problem IMO Shortlist 1995 #A.3'e dönüşür ve maksimum değer $2s-2n$.elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İspatın ilk adımında
$$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{j-1}^2-a_j^2=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{j-1}\right)^2-a_j^2-2\sum_{1\leq p<k\leq j-1}{a_ia_k}$$
$$=\left(a_1+a_2+\cdots+a_j\right)\left(a_1+a_2+\cdots+a_{j-1}-a_j\right)-2\sum_{1\leq p<k\leq j-1}{a_ia_k}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Simetrik toplamda $p,k\leq j-1$ olmasina dikkat edelim, sonuçta toplamın karesi $a_j$'yi içermiyor.
$$\Rightarrow LHS= \sum_{cyc-i}{\dfrac{a_i^2+a_{i+1}^2+\cdots+a_{i+j-2}^2-a_{i+j-1}^2}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}}=\sum_{cyc}{\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-1}-\dfrac{2\sum_{i\leq p<k\leq i+j-2}{a_ia_k}}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}\right)}$$
Şimdi $a_i$'ler için verilen alt tabanı yani $\lambda$'yi kullanalım. $a_i\geq \lambda$ ise
$$\left(a_1-\lambda\right)\left(a_2-\lambda\right)\geq 0\Rightarrow 2a_1a_2\geq 2\lambda\left(a_1+a_2-\lambda\right)$$
Bundan ötürü toplamde her farklı $a_i$'den $j-2$ tane ve farklı $p,k$ 'ler için $a_pa_k$'den de $\dfrac{\left(j-2\right)\left(j-1\right)}{2}$ tane bulunduğunu düşünürsek
$$\dfrac{2\sum_{i\leq p<k\leq i+j-2}{a_ia_k}}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_j}\geq \dfrac{2\lambda\left(\left(j-2\right)\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}\right)-\dfrac{\lambda\left(j-1\right)\left(j-2\right)}{2}\right)}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_j}$$
$$=2\lambda\left(j-2\right)\dfrac{\left(a_1+a_2+\cdots+a_{j-1}-\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}\right)}{a_1+a_2+\cdots+a_{j-1}-a_j}=2\lambda\left(j-2\right)\left(1+\dfrac{a_j-\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}\right)$$
Şimdi paydadaki ifadeler için verilen alt ve üst tabanlar ile bir eşitsizlik
$$\lambda \leq a_i\leq \dfrac{\lambda\left(2j-3\right)}{j-1}\Rightarrow a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}\leq \left(j-1\right)\dfrac{\lambda\left(2j-3\right)}{j-1}-\lambda=2\lambda\left(j-2\right)$$
elde ederiz. Bundan ötürü
$$\dfrac{2\sum_{i\leq p<k\leq i+j-2}{a_ia_k}}{a_1+a_2+\cdots+a_{j-1}-a_j}\geq 2\lambda\left(j-2\right)\left(1+\dfrac{a_{i+j-1}-\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}\right)\geq 2\lambda\left(j-2\right)\left(1+\dfrac{a_{i+j-1}-\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}}{2\lambda\left(j-2\right)}\right)$$
$$=2\lambda\left(j-2\right)+a_{i+j-1}+\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}$$
O zaman tüm bu ilerleyiş sonucu
$$LHS=\sum_{cyc}{\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-1}-\dfrac{2\sum_{i\leq p<k\leq i+j-2}{a_ia_k}}{a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-a_{i+j-1}}\right)}$$
$$\leq \sum_{cyc}{\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-1}-2\lambda\left(j-2\right)-a_{i+j-1}+\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}\right)}=\sum_{cyc}{\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-2\lambda\left(j-2\right)+\dfrac{\lambda\left(j-1\right)}{2}\right)}$$
$$=\sum_{cyc}{\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i+j-2}-\dfrac{\lambda}{2}\left(3j-7\right)\right)}=\left(j-1\right)\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)-n.\dfrac{\lambda}{2}\left(3j-7\right)=\left(j-1\right)s-\dfrac{\lambda n\left(3j-7\right)}{2}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.