Genelleştirilmiş IMO 2006 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$$\left(\beta_1-\lambda_3\right)a+\left(\beta_2-\lambda_1\right)b+\left(\beta_3-\lambda_2\right)c=0 \quad \text{||} \quad \beta_1^2+\lambda_3^2=\beta_2^2+\lambda_1^2=\beta_3^2+\lambda_2^2$$
eşitliklerini sağlayan tüm $a,b,c,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3$ reelleri için

$$\left |ab\left[\beta_1\beta_2\lambda_3\left(a^2+ab\right)-\beta_1\lambda_1\lambda_3\left(b^2+ab\right)\right]+bc\left[\beta_2\beta_3\lambda_1\left(b^2+bc\right)-\beta_3\lambda_1\lambda_2\left(c^2+bc\right)\right]+ca\left[\beta_1\beta_3\lambda_2\left(c^2+ca\right)-\beta_1\lambda_2\lambda_3\left(a^2+ca\right)\right]+abc\left[a\left(\beta_1\beta_2\left(\beta_3-\lambda_3\right)+\lambda_2\lambda_3\left(\beta_1-\lambda_1\right)\right)+b\left(\beta_2\beta_3\left(\beta_1-\lambda_1\right)+\lambda_1\lambda_3\left(\beta_2-\lambda_2\right)\right)+c\left(\beta_1\beta_3\left(\beta_2-\lambda_2\right)+\lambda_1\lambda_2\left(\beta_3-\lambda_3\right)\right)\right]\right |$$
$$\leq \dfrac{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}{16\sqrt{2}}\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab\left(1-\beta_1\lambda_1\right)+bc\left(1-\beta_2\lambda_2\right)+ca\left(1-\beta_3\lambda_3\right)\right)\right]^2$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\beta_1=\beta_2=\beta_3=\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$$
verildiğinde problem IMO 2006 #3'e dönüşür ve $a,b,c$ 'nin katsayıları sıfır olduğundan ilk eşitlik de sağlanmaktadır. İkinci eşitliğin de saģlandığı açıktır. Bundan ötürü orijinal problemdeki $M$ ifadesi için
$$M\geq  \dfrac{\left(\beta_1^2+\dfrac{1}{\beta_3^2}+1\right)^2}{16\sqrt{2}}=\dfrac{9}{16\sqrt{2}}$$
elde ederiz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Uzun bir çarpanlara ayırma veya tersten inşa ile sol taraftaki ifadenin çarpım halindeki eşitini bulalım
$$\left |ab\left[\beta_1\beta_2\lambda_3\left(a^2+ab\right)-\beta_1\lambda_1\lambda_3\left(b^2+ab\right)\right]+bc\left[\beta_2\beta_3\lambda_1\left(b^2+bc\right)-\beta_3\lambda_1\lambda_2\left(c^2+bc\right)\right]+ca\left[\beta_1\beta_3\lambda_2\left(c^2+ca\right)-\beta_1\lambda_2\lambda_3\left(a^2+ca\right)\right]+abc\left[a\left(\beta_1\beta_2\left(\beta_3-\lambda_3\right)+\lambda_2\lambda_3\left(\beta_1-\lambda_1\right)\right)+b\left(\beta_2\beta_3\left(\beta_1-\lambda_1\right)+\lambda_1\lambda_3\left(\beta_2-\lambda_2\right)\right)+c\left(\beta_1\beta_3\left(\beta_2-\lambda_2\right)+\lambda_1\lambda_2\left(\beta_3-\lambda_3\right)\right)\right]\right |$$
$$=\left| \left(\beta_1a-\lambda_1b\right)\left(\beta_2b-\lambda_2c\right)\left(\beta_3c-\lambda_3a\right)\left(a+b+c\right)\right|$$
$\beta_1a-\lambda_1b=x, \beta_2b-\lambda_2c=y, \beta_3c-\lambda_3a=z, a+b+c=s$ olsun. $x,y,z$ sıfırdan farklı olsun (En az biri sıfırsa $M\geq 0$ elde ederiz). Ayrıca $x+y+z=0$ olduğu problemde verilmiş. Genelliği bozmadan $x$ ve $y$'yi pozitif reel sayılar kabul edebiliriz. Buna göre sağ taraf problemde verilmiş ikinci eşitliklere bağlı olarak
$$M\left(a^2+b^2+c^2+\dfrac{2\left(ab\left(1-\beta_1\lambda_1\right)+bc\left(1-\beta_2\lambda_2\right)+ca\left(1-\beta_3\lambda_3\right)\right)}{\beta_1^2+\lambda_3^2+1}\right)^2=M\left(\dfrac{\left(\beta_1a-\lambda_1b\right)^2+\left(\beta_2b-\lambda_2c\right)^2+\left(\beta_3c-\lambda_3a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}{\beta_1^2+\lambda_3^2+1}\right)^2=\dfrac{M}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Bunu eşitsizlikte yerine koyduğumuzda
$$|xyzs|\leq \dfrac{M}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
elde ederiz. Pariteleri aynı olan $x,y$ için $x+y$ sabit iken $x=y$ durumunu gösterirsek ispat biter çünkü $x=y$ iken sol taraftaki $xy$'yi maksimize ve sağ taraftaki $x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy$ minimize eder. Bundan ötürü $x=y$ olsun. Haliyle $z=-2x$ olacaktır
$$\left | xyzs\right |\leq \left | 2x^3s\right | \leq \dfrac{M}{9}\left(6x^2+s^2\right)^2 \leq \dfrac{M}{9}\left(x^2+y^2+z^2+s^2\right)^2$$
Yani
$$\dfrac{M}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}\left(6x^2+s^2\right)^2=\dfrac{M}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}\left(2x^2+2x^2+2x^2+s^2\right)^2\geq \dfrac{M}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}\left(4\sqrt[4]{2^3x^6s^2}\right)^2=M.\dfrac{16\sqrt{2}}{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}2x^3s\geq 2x^3s=\left | 2x^3s\right |$$
Dolayısıyla $M\geq \dfrac{\left(\beta_1^2+\lambda_3^2+1\right)^2}{16\sqrt{2}}$ elde edilir.