Genelleştirilmiş JBMO Shortlist 2019 #A.6 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,\lambda,\beta,\theta$ pozitif reeller olmak üzere $\beta\leq 2\lambda$ ve $2\lambda +\beta\leq 4\theta^2$ ifadeleri sağlanıyorsa


$$\left(\lambda a^2+\beta ac+\lambda c^2\right)\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\theta b^2\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)>\dfrac{2\lambda +\beta}{3}\left(a+b+c\right)$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$2\lambda +\beta\geq 4\theta^2$$
durumunda ise $LHS> \theta ^2\left(a+b+c\right)$ elde edilecektir. İspatı yüklerken değineceğim fakat eşitsizliğin zayıf ama bulunması keyifli bir alt tabana sahip olduğunu düşünüyorum.
$$\lambda=1,\beta=1,\theta=1$$
verildiğinde problem JBMO Shortlist 2019 #A.6 'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İspatın başında ilkin
$$\lambda a^2+\beta ac +\lambda c^2\geq \dfrac{2\lambda+\beta}{4}\left(a+c\right)^2$$
olduğunu gösterelim. Her iki tararafı $4$ ile çarptığımızda
$$\left(4\lambda-2\lambda-\beta\right)\left(a^2+c^2\right)\geq \left(2\lambda+\beta-2\beta\right)2ac$$
Katsayılarımız pozitif olduğundan ($2\lambda\geq \beta$) sonda $a^2+c^2\geq 2ac$ elde ederiz, bundan dolayı eşitsizlik doğrudur. O zaman
$$LHS=\left(\lambda a^2+\beta ac+\lambda c^2\right)\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\theta b^2\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\geq \dfrac{2\lambda+\beta}{4}\left(a+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\theta b^2\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)$$
elde ederiz. Şimdi parantez içi kesir paydalarına baktığımızda $a+b+c, a+c, b+c, a+b$ ifadelerinin toplamının $3(a+b+c)$ olduğu dikkat çekiyor. O yüzden Bergstorm Eşitsizliği'ni kullanırsak
$$LHS\geq  \dfrac{2\lambda+\beta}{4}\left(a+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\theta b^2\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\overbrace{\geq}^{Bergstorm}\dfrac{\left(2\lambda+\beta\right)\left(a+c\right)^2}{2a+b+2c}+\dfrac{4\theta b^2}{\left(a+2b+c\right)}$$
$$\overbrace{\geq}^{Bergstorm} \dfrac{\left[\sqrt{2\lambda+\beta}\left(a+c\right)+2\sqrt{\theta}b\right]^2}{3\left(a+b+c\right)}$$
Şimdi verilen bilgiyi kullanırsak
$$4\theta\geq 2\lambda+\beta\Rightarrow LHS\geq  \dfrac{\left[\sqrt{2\lambda+\beta}\left(a+c\right)+2\sqrt{\theta}b\right]^2}{3\left(a+b+c\right)}$$
$$> \dfrac{\left(\sqrt{2\lambda+\beta}\left(a+b+c\right)\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\dfrac{2\lambda+\beta}{3}\left(a+b+c\right)$$
elde eder ve ispatı tamamlarız. Eğer $2\lambda+\beta\geq 4\theta$ olsaydı son aşamada $LHS>\dfrac{4\theta}{3}\left(a+b+c\right)$ elde ederdik.