Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2016 #A.8 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x_0, x_1, ... , x_n,\lambda,\theta_1$ pozitif reelleri ($n\geq 1$) için $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ sağlanıyor. Ayrıca $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ aritmetik dizi olmak üzere aşağıdaki ifadeyi sağlayan

 
$$\dfrac{1}{x_1-x_0} + \dfrac{1}{x_2-x_1} + \cdots + \dfrac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \dfrac{\left(\lambda -\theta_1\right)\left(\lambda+\theta_1\right)}{2x_1\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)}+\sum_{i=2}^{n}{\dfrac{\lambda +\theta_{i-1}+\theta_i}{2x_{i}}}\right)$$

$a$ reelleri için

$$a\leq \dfrac{2\left(\lambda=\theta_1-\theta_2\right)}{\lambda ^2}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\theta_1=1,\theta_2-\theta_1=1,\lambda=3$$
yani aritmetik dizi ardışık sayılardan oluştuğunda problem IMO Shortlist 2016 #A.8'e dönüşür.
$$a\leq \dfrac{4}{9}$$
elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$y_1=x_1-x_0,y_2=x_2-x_1,\cdots,y_n=x_n-x_{n-1}$ değişken dönüşümlerini yapalım. İspatin ilk adımı olarak $\theta_0=0$ alarak
$$\lambda^2.LHS=\lambda^2\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{y_1}}\right)\geq \sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\lambda- \theta_j+\theta_{j-1}\right)\left(\lambda+\theta_j+\theta_{j-1}\right)}{y_1+y_2+\cdots+y_{j}}}$$
olduğunu gòsterelim. Şimdi zincirleme bir aşamada küçük-eşit tarafta elde ettiğimiz çarpanı sonra büyük-eşit tarafta göreceğiz.
$$\dfrac{\lambda^2}{y_1}=\dfrac{\lambda^2}{y_1}$$
$$\dfrac{\theta_1^2}{y_1}+\dfrac{\lambda^2}{y_2}\geq \dfrac{\left(\lambda+\theta_1\right)^2}{y_1+y_2}$$
$$\dfrac{\theta_2^2}{y_1+y_2}+\dfrac{\lambda^2}{y_3}\geq \dfrac{\left(\lambda+\theta_2\right)^2}{y_1+y_2+y_3}$$
$$\dfrac{\theta_3^2}{y_1+y_2+y_3}+\dfrac{\lambda^2}{y_4}\geq \dfrac{\left(\lambda+\theta_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3+y_4}$$
$$\dfrac{\theta_4^2}{y_1+y_2+y_3+y_4}+\dfrac{\lambda^2}{y_5}\geq \dfrac{\left(\lambda+\theta_4\right)^2}{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}$$
$$\vdots$$
$$\dfrac{\theta_{n-1}^2}{y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}}+\dfrac{\lambda^2}{y_n}\geq \dfrac{\left(\lambda+\theta_{n-1}\right)^2}{y_1+y_2+\cdots+y_n}$$
Bundan dolayı her eşitsizlikteki ilk kesirleri sağ tarafa atarsak
$$\lambda^2\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{y_1}}\right)\geq \sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\lambda- \theta_j+\theta_{j-1}\right)\left(\lambda+\theta_j+\theta_{j-1}\right)}{y_1+y_2+\cdots+y_{j}}}=\sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\lambda- \theta_j+\theta_{j-1}\right)\left(\lambda+\theta_j+\theta_{j-1}\right)}{\left(x_1-x_0\right)+\left(x_2-x_1\right)+\cdots+\left(x_j-x_{j-1}\right)}}$$
$$=\sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\lambda- \theta_j+\theta_{j-1}\right)\left(\lambda+\theta_j+\theta_{j-1}\right)}{x_j}}$$
Problemde $\theta_i$ dizisinin bir aritmetik dizi olduğu söylenmiş(Orijinal problemde de öyledir). Buna göre
$$\lambda+\theta_1-\theta_2=\lambda+\theta_j-\theta_{j+1}$$
olduğunu söyleyebiriz ve bunun sayesinde $j=1$ dışında ortak çarpan parantezine alabiliriz. $j=1$ durumunda ispatın başında toplam işaretine dahil edebilmek amaçlı $\theta_0=0$ demiştik ondan $j=1$'e ait kesirin oaydasına yollayacağız.
$$\lambda^2.LHS\geq \sum_{cyc- j}{\dfrac{\left(\lambda- \theta_j+\theta_{j-1}\right)\left(\lambda+\theta_j+\theta_{j-1}\right)}{x_j}}=2\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)\left( \dfrac{\left(\lambda -\theta_1\right)\left(\lambda+\theta_1\right)}{2x_1\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)}+\sum_{i=2}^{n}{\dfrac{\lambda +\theta_{i-1}+\theta_i}{2x_{i}}}\right)$$
Bundan ötürü ispatı
$$LHS=\dfrac{1}{x_1-x_0} + \dfrac{1}{x_2-x_1} + \cdots + \dfrac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq  \dfrac{2\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)}{\lambda^2}\left( \dfrac{\left(\lambda -\theta_1\right)\left(\lambda+\theta_1\right)}{2x_1\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)}+\sum_{i=2}^{n}{\dfrac{\lambda +\theta_{i-1}+\theta_i}{2x_{i}}}\right)$$
$$\Rightarrow a\leq \dfrac{2\left(\lambda+\theta_1-\theta_2\right)}{\lambda^2}$$
şeklinde elde ederek tamamlarız.