Genelleştirilmiş Kore MO Final 2014 #1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x,y,z$ pozitif reeller olmak üzere $x+y+z=1$ ise


$$\dfrac{2\left(1+xy+yz+zx\right)\left(\theta\left(x^3+y^3+z^3\right)+\dfrac{\lambda }{9}\right)}{\sqrt{\lambda \theta \left(\lambda+\theta\right)}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\geq \left(\sum_{cyc}{\dfrac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{\theta +\lambda x^2}}}\right)^2$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İspatın başında Cauhcy'den
$$\sqrt{\left(\lambda x^2+\theta \right)\left(\beta+\dfrac{\lambda \beta}{\theta}\right)}\geq \sqrt{\lambda \beta}\left(x+1\right)$$
$$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{\lambda x^2+\theta}}\leq \sqrt[4]{\dfrac{\beta+\dfrac{\lambda \beta}{\theta}}{\lambda \beta}}=\sqrt[4]{\dfrac{\lambda +\theta}{\lambda \theta}}$$
olduğunu söyleyebiliriz. Bunu $x+y+z=1$ bilgisiyle eşitsizliğin sağ tarafına uygularsak
$$RHS\leq \left(\sum_{cyc}{x\sqrt[4]{\dfrac{\lambda +\theta}{\lambda \theta}}}\right)=\sqrt{\dfrac{\lambda+\theta}{\lambda \theta}}$$
olarak elde ederiz. O zaman göstermemiz gerekenle uğraşalım
$$LHS=\dfrac{2\left(1+xy+yz+zx\right)\left(\theta\left(x^3+y^3+z^3\right)+\dfrac{\lambda }{9}\right)}{\sqrt{\lambda \theta \left(\lambda+\theta\right)}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\geq \sqrt{\dfrac{\lambda+\theta}{\lambda \theta}}$$
$$\Rightarrow \dfrac{\left(1+xy+yz+zx\right)\left(\theta\left(x^3+y^3+z^3\right)+\dfrac{\lambda }{9}\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\geq \dfrac{\lambda+\theta}{2}$$
$x^3+y^3+z^3\geq \dfrac{(x+y+z)^3}{9}=\dfrac{1}{9}$ olduğundan
$$LHS=\dfrac{\left(1+xy+yz+zx\right)\left(\theta\left(x^3+y^3+z^3\right)+\dfrac{\lambda }{9}\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\geq \dfrac{\left(1+xy+yz+zx\right)\left(\theta+\lambda\right)}{9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)} \geq \dfrac{\lambda+\theta}{2}$$
$$\Rightarrow  \dfrac{1+xy+yz+zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)} \geq \dfrac{9}{2}$$
Şimdi $\sum\limits_{cyc}{\left(x+y\right)\left(1+z\right)}=2(xy+yz+zx+x+y+z)=2(xy+yz+zx+1)$ olduğuna dikkat edelim. O zaman $x+y+z=1$ bilgisiyle Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanırsak
$$\dfrac{1+xy+yz+zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\dfrac{\sum\limits_{cyc}{(x+y)(1+z)}}{2(x+y)(y+z)(z+x)}=\sum_{cyc}{\dfrac{1+z}{2(y+z)(z+x)}}\overbrace{\geq}^{AGO} \sum_{cyc}{\dfrac{1+z}{2\left(\dfrac{x+y+2z}{2}\right)^2}}$$
$$=\sum_{cyc}{\dfrac{2}{1+z}}\overbrace{\geq}^{Bergstorm} \dfrac{18}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{2}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.