Genelleştirilmiş IMO Shortlist 2018 #A.7 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_1,a_2,\cdots,a_n,j$ negatif olmayan reel sayılar ($n\geq j\geq 4$) olmak üzere $\sum\limits_{cyc}{a_1}=\beta$ ise


$$\sum_{cyc- i}{\sqrt[2j+1]{\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i+j-1}}{a_{i+j}+7}}}\leq \dfrac{2+nj}{2j+1}.\sqrt[2j+1]{\dfrac{j\left(\beta+7n\right)}{14}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\beta=100,\lambda=7$$
verildiğinde problem IMO Shortlist 2018 #A.7'ye dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Artimetik-Geometrik Ortalama'yı $2j+1$ eleman için uygularsak
$$LHS.\sqrt[2j+1]{\dfrac{7}{\left(\dfrac{\beta+7n}{2}\right)^j.j^{j-1}}}=\sum_{cyc- i}{\sqrt[2j+1]{\dfrac{7j.a_ia_{i+1}\cdots a_{i+j-1}}{\left(\dfrac{j\left(\beta+7n\right)}{2}\right)^j\left(a_{i+j}+7\right)}}}$$
$$\leq \dfrac{\sum\limits_{cyc-i}{\left(\dfrac{2\left(a_i+7\right)}{j\left(\beta+7n\right)}+\dfrac{a_i}{a_i+7}+\dfrac{2\left(a_{i+1}+7\right)}{j\left(\beta+7n\right)}+\dfrac{a_{i+1}}{a_{i+1}+7}+\cdots+\dfrac{2\left(a_{i+j-1}+7\right)}{j\left(\beta+7n\right)}+\dfrac{a_{i+j-1}}{a_{i+j-1}+7}+\dfrac{7j}{a_{i+j}+7}\right)}}{2j+1}$$
$$=\dfrac{\dfrac{2\left(j\beta+7nj\right)}{j\left(\beta+7n\right)}+nj}{2j+1}=\dfrac{nj+2}{2j+1}$$
Bunun sebebi ise toplam açıldığînda her $i$ için $j$ adet $\dfrac{a_i}{a_i+7}$ ve bir adet $\dfrac{7j}{a_i+7}$ bulunduğundan $i$ başına $+j$ gelir ve paya $nj$ eklenir. Payın ilk parantezi ise toplamdaki terim sayısına göre şekillenmiştir.
Bundan dolayı
$$LHS\geq \dfrac{nj+2}{2j+1}.\sqrt[2j+1]{\dfrac{7}{\left(\dfrac{\beta+7n}{2}\right)^j.j^{j-1}}}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.
Orijinal problemin çözümünde ise $n=4, j=1,\beta=100$ durumu gözlenmekte ve
$$LHS_o.\sqrt[3]{7}{64}=\sqrt[3]{\dfrac{7a}{64\left(b+7\right)}}\leq \dfrac{\sum\limits_{cyc}{\left(\dfrac{a+7}{64}+\dfrac{a}{a+7}+\dfrac{7}{b+7}\right)}}{3}=\dfrac{\dfrac{128}{64}+4}{3}=2$$
$$\Rightarrow LHS_o\geq 2\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}=\dfrac{8}{\sqrt[3]{7}}$$
elde ederiz.