Genelleştirilmiş IMO 2020 #2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,d$ reeller ($a\geq b\geq c\geq d>0$) olmak üzere $\alpha\geq \theta\geq \beta\geq \lambda>0$ olmak üzere
$$6\lambda \geq \alpha +\beta \geq 2\theta$$
eşitsizlikleri sağlanıyorsa


$$\left(\lambda a+\beta b+\theta c+\alpha d\right)a^ab^bc^cd^d<\lambda$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda=1,\beta=2,\theta=3,\alpha=4$$
verildiğinde
$$6\lambda \geq \alpha +\beta \geq 2\theta$$
eşitsizlikleri sağlanır ve problem IMO 2020 #2'ye dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\left(\lambda a+\beta b+\theta c+\alpha d\right)a^ab^bc^cd^d\overbrace{\leq}^{Ağırlaştırılmış AGO} \left(\lambda a+\beta b+\theta c+\alpha d\right)\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}=\left(\lambda a+\beta b+\theta c+\alpha d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$
$$=\lambda \left(a+b+c+d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left [ \left(\beta -\lambda\right)b+\left(\theta -\lambda\right)c+\left(\alpha -\lambda\right)d\right ]\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$
$$\leq \lambda \left(a+b+c+d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left [ \left(\beta -\lambda\right)b+\left(\theta -\lambda\right)c+\left(\alpha -\lambda\right)d\right ]a\left(a+b+c+d\right)\leq \lambda \left(a+b+c+d\right)^3=\left(a+b+c+d\right)\left(\lambda \left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+2\lambda \sum_{sym}{ab}\right)$$
Sol tarafın ilk terimini iki taraftan sildiğimizde
$$\left [ \left(\beta -\lambda\right)b+\left(\theta -\lambda\right)c+\left(\alpha -\lambda\right)d\right ]a\left(a+b+c+d\right)\leq \left(a+b+c+d\right)\left(2\lambda \sum_{sym}{ab}\right)$$
elde edilir. Dolayısıyla
$$2\lambda \left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)>ab\left(\beta-\lambda\right)+ac\left(\theta-\lambda\right)+ad\left(\alpha-\lambda\right)$$
olduğunu göstermeliyiz. Ortak terimleri çıkartıp düzenlersek
$$2\lambda \left(bc+bd+cd\right)>ab\left(\beta-3\lambda\right)+ac\left(\theta-3\lambda\right)+ad\left(\alpha-3\lambda\right)$$
Problemde verilen
$$6\lambda \geq \alpha +\beta \geq 2\theta \Rightarrow 3\lambda-\beta\geq \alpha-3\lambda$$
$$6\lambda \geq \alpha +\beta \geq 2\theta \Rightarrow \theta \leq 3\lambda$$
eşitsizliği ile
$$ab\left(\beta-3\lambda\right)+ac\left(\theta-3\lambda\right)+ad\left(\alpha-3\lambda\right)\leq ad\left(\alpha-3\lambda\right)-ab\left(3\lambda-beta\right)\leq 0$$
Sondaki ifadenin negatif olmasının sebebi ise $b\geq d$ olmasıdır.
Böylece
$$ab\left(\beta-\lambda\right)+ac\left(\theta-\lambda\right)+ad\left(\alpha-\lambda\right)\leq 0<2\lambda \left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)$$
elde edip ispatı bitiririz.