Problemde verilen eşitliği kullanırsak
$$\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1\Rightarrow \prod{a_1}=\sum_{j=1}^{n}{\dfrac{\prod{a_1}}{a_j}}$$
$$LHS=a_1^{a_1}a_2a_3\cdots a_n+a_1a_2^{a_2}a_3\cdots a_n+\cdots a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n^{a_n}=\prod{a_{1}}\left(\sum_{cyc}{a_{1}^{a_{1}-1}}\right)\geq n^n.\sum_{j=1}^{n}{\left(\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}}\right)}$$
Yukarıda problemdeki bilgiden çıkarttığımız eşitliği yani $\prod{a_1}=\sum\limits_{j=1}^{n}{\dfrac{\prod{a_1}}{a_j}}$ olduğuna dikkat edersek
$$\sum_{cyc}{a_{1}^{a_{1}-1}}\geq n^n$$
olduğunu göstermek problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim. $\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1$ bilgisiyle
Ağırlaştırılmış Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanırsak
$$\sum_{cyc}{a_1^{a_1-1}}=\dfrac{a_1^{a_1}}{a_1}+\dfrac{a_2^{a_2}}{a_2}+\cdots+\dfrac{a_n^{a_n}}{a_n}\overbrace{\geq}^{A. AGO} \left[\left(a_1^{a_1}\right)^{\dfrac{1}{a_1}}\left(a_2^{a_2}\right)^{\dfrac{1}{a_2}}\cdots \left(a_n^{a_n}\right)^{\dfrac{1}{a_n}}\right]^{\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}}=a_1a_2\cdots a_n\geq n^n$$
Sondaki eşitsizliğin doğru olduğunu gösterelim.
$$\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}=1\Rightarrow 1=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\overbrace{\geq}^{AGO} n\sqrt[n]{\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}}$$
Buradan sonra kök açılırsa $a_1a_2\cdots a_n\geq n^n$ elde edilir ve ispatı tamamlarız.
