Muirhed Eşitsizliği sayesinde
$$a_1^n+a_2^n+\cdots+a_{n-1}^{n}\geq a_1^2a_2a_3\cdots a_{n-1}+a_1a_2^2a_3a_4\cdots a_{n-1}+\cdots +a_1a_2\cdots a_{n-2}a_{n-1}^2=a_1a_2\cdots a_{n-1}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman
$$LHS=\sum_{cyc- i}{\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-3}+a_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i-2}-a_{i+2}a_{i+3}\cdots a_{i-1}}{a_i^n+a_{i+1}^n+\cdots+a_{i-2}^n+a_1a_2\cdots a_n}}\leq \sum_{cyc- i}{\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-3}+a_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i-2}-a_{i+2}a_{i+3}\cdots a_{i-1}}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-2}\left(a_i+a_{i+1}+\cdots+a_{i-2}\right)+a_1a_2\cdots a_n}}$$
$$=\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\sum_{cyc-i}{\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-3}+a_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i-2}-a_{i+2}a_{i+3}\cdots a_{i-1}}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-2}}}\right)$$
Şimdi ortak payda için toplamdakj kesrin hem payını hem de paydasını $a_{i-1}$ ile çarpıp paydada $\prod{a_1}$ elde etmeliyiz.
$$LHS\leq \dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\sum_{cyc-i}{\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i-3}+a_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i-2}-a_{i+2}a_{i+3}\cdots a_{i-1}}{\prod{a_1}}}\right)$$
$$=\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\sum_{cyc-i}{\dfrac{a_{i-1}.a_ia_{i+1}\cdots a_{i-3}+a_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i-2}.a_{i-1}-a_{i+2}a_{i+3}\cdots a_{i-2}a_{i-1}^2}{\prod{a_1}}}\right)$$
$$=\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\dfrac{2\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-2}}-\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-4}a_{i-3}^2}}{\prod{a_1}}\right)$$
Şimdi yine Muirhed Eşitsizliği'ni ikisi de simetrik olan toplamlara uygularsak (ipucu: $n$ terimli bir dizimiz varsa ve bunların $n-1$'li çarpımlarını topluyorsak bu toplam hem dairesel hem de simetriktir).
$$\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-2}}\leq \sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-4}a_{i-3}^2}$$
elde ederiz. O zaman
$$LHS\leq \dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\dfrac{2\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-2}}-\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-4}a_{i-3}^2}}{\prod{a_1}}\right)\leq
\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\left(\dfrac{\sum\limits_{cyc-i}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i-2}}}{\prod{a_1}}\right)$$
$$=\dfrac{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}=\dfrac{\sum\limits_{cyc}{\dfrac{1}{a_1}}}{\sum\limits_{cyc}{a_1}}\leq 1$$
sondaki eşitsizlik problemde verilmiş(orijinal problemde de). İspatı tamamlarız.
