Genelleştirilmiş JBMO 2013 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,\lambda $ pozitif reeller ($\lambda \geq 1$) olmak üzere $ab\geq 1$ ise


$$\left(a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+1}\right)\left(b+\lambda a+\dfrac{\lambda }{b+1}\right)\geq \left(\dfrac{\left(\lambda +1\right)\left(\lambda +2\right)-4}{\lambda }\right)^2$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a,b,k$ pozitif reeller ve $\lambda$ tam sayı ($\lambda \geq 1$) olmak üzere $ab\geq k$ ise


$$\left(a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+k}\right)\left(b+\lambda a+\dfrac{\lambda }{b+k}\right)\geq \left(\dfrac{\left(\lambda +1\right)\left(\lambda +2\right)}{\lambda }-4\right)^2.\sqrt[\lambda ^2+3\lambda -2]{k^{\left(\lambda ^2-1\right)}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda =2,k=1$$
verildiğinde problem JBMO 2013 #3'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$a,b,k$ pozitif reeller ve $\lambda,\phi$ tam sayılar ($\lambda,\phi \geq 1$) olmak üzere $ab\geq k$ ise


$$\left(\phi a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+k}\right)\left(\phi b+\lambda a+\dfrac{\lambda }{b+k}\right)\geq \left(\lambda ^2+\lambda\left(\phi +2\right)-2\right)^2\left(\sqrt[\lambda ^2+\lambda \left(\phi+2\right)-2]{k^{\left(\lambda ^2+\lambda \left(\phi -1\right)-1\right)}}\right)$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3 için oldukça elementer ama güzel bir ispat verelim. $ab\geq k\Rightarrow a+k\leq a\left(b+1\right)$ olduğunu kullanırsak
$$\phi a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+k}\geq \phi a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a\left(b+1\right)}=\left(a+\dfrac{b+1}{\lambda}+\dfrac{\lambda}{a\left(b+1\right)}\right)+\left(\phi-1\right)a+\dfrac{\left(\lambda^2-1\right)b-1}{\lambda}$$
$$\overbrace{\geq}^{AGO} 3+\left(\phi-1\right)a+\dfrac{\left(\lambda^2-1\right)b-1}{\lambda}=\dfrac{\lambda\left(\phi-1\right)a+\left(\lambda^2-1\right)b+3\lambda-1}{\lambda}$$
Şimdi payda Aritmetik-Geometrik Ortalama kullanacağız ama katsayılar değil de sadece $ab$ olsun. Yani $ka$ ise $\overbrace{a+a+\cdots+a}^{k}$ olarak açalım.
$$\dfrac{\lambda\left(\phi-1\right)a+\left(\lambda^2-1\right)b+3\lambda-1}{\lambda}=\dfrac{\overbrace{a+a+\cdots+a}^{\lambda\phi-\lambda}+\overbrace{b+b+\cdots+b}^{\lambda^2-1}+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{3\lambda-1}}{\lambda}\geq \left(\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2\right)\sqrt[\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2]{a^{\lambda\phi-\lambda}b^{\lambda^2-1}}$$
elde ederiz. Aynı şekilde
$$\phi a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+k}\geq \left(\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2\right)\sqrt[\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2]{a^{\lambda^2-1}b^{\lambda\phi-\lambda}}$$
elde edilebilir. O zaman bu iki ifadenin çarpımıyla
$$\left(\phi a+\lambda b+\dfrac{\lambda }{a+k}\right)\left(\phi b+\lambda a+\dfrac{\lambda }{b+k}\right)$$
$$\geq \left(\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2\right)\sqrt[\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2]{a^{\lambda\phi-\lambda}b^{\lambda^2-1}}.\left(\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2\right)\sqrt[\lambda^2+\lambda\left(\phi+2\right)-2]{a^{\lambda^2-1}b^{\lambda\phi-\lambda}}$$
$$= \left(\lambda ^2+\lambda\left(\phi +2\right)-2\right)^2\left(\sqrt[\lambda ^2+\lambda \left(\phi+2\right)-2]{k^{\left(\lambda ^2+\lambda \left(\phi -1\right)-1\right)}}\right)$$
elde eder ve ispatı tamamlarız. Örneğin orijinal problemde
$$\left(a+2b+\dfrac{2}{a(b+1)}\right)\geq \dfrac{3b+5}{2}=\dfrac{b+b+b+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{5}}{2}\geq 4\sqrt[8]{b^3}$$
ile ispata ilerletilebilir.