Genelleştirilmiş Romanya TST 2019 #5.1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme.1
($n,k\in \mathbf{R^+}$)  $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ pozitif reeller ve toplamları $1$ olmak üzere


$$\sum_{1\leq i<j\leq n}{\left(x_{i}+x_{j}\right)\sqrt{x_{i}x_{j}}}\leq \dfrac{n-1}{2\sqrt{2n-4}} $$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
($n,k\in \mathbf{R^+}$)  $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ pozitif reeller ve toplamları $\lambda $ olmak üzere


$$\sum_{1\leq i<j\leq n}{\left(x_{i}+x_{j}\right)^{p}\sqrt[k]{x_{i}x_{j}}}\leq \dfrac{(n-1)^p.\lambda^{2p}}{2^p\sqrt{\left(2n-4\right)^{p}}.\sqrt[2k]{\left(\sum_{1\leq i<j\leq 4}{x_{i}x_{j}}\right)^{kp-2}}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\sum\limits_{cyc}{x_1}=1$ bilgisiyle Cauchy Schwarz kullanırsak
$$LHS^2=\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{\left(x_{i}+x_{j}\right)\sqrt{x_{i}x_{j}}}\right)^2\leq \left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{\left(x_i+x_j\right)^2}\right)\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)$$
$$=\left[\left(n-1\right)\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)^2-\left(2n-4\right)\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right]\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)$$
$$=\dfrac{\left[\left(n-1\right)\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^2-\left(2n-4\right)\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right]\left[\left(2n-4\right)\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right]}{2n-4}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{\left(n-1\right)^2\left(\sum\limits_{cyc}{x_1}\right)^4}{8\left(n-2\right)}$$
$$=\dfrac{\left(n-1\right)^2}{8\left(n-2\right)}$$
Bundan ötürü
$$LHS\geq \dfrac{n-1}{2\sqrt{2\left(n-2\right)}}$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.