Genelleştirilmiş JBMO 2023 #2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x_{1},x_{2},\cdots,n$ negatif olmayan reeller (Hepsi birden $0$'a eşit olmamak üzere) ve $n\geq 2$ olmak üzere


$$\sum_{cyc- i}{\dfrac{(n-1)x_{i}^2-(n-2)x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i-1}}{x_{i}+x_{i+1}^2+x_{i+2}^2+\cdots+x_{i-1}^2}}\geq n$$


olduğunu gösteriniz ve eşitlik durumunu belirleyiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$x_{1},x_{2},\cdots,n,p,k$ negatif olmayan reeller (Hepsi birden $0$'a eşit olmamak üzere) ve $n\geq 2$ olmak üzere


$$\sum_{cyc- i}{\dfrac{(n-1)x_{i}^p-(n-2)x_{i}^k+x_{i+1}^k+x_{i+2}^k+\cdots+x_{i-1}^k}{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}}\geq n$$


olduğunu gösteriniz ve eşitlik durumunu belirleyiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=3,p=2,k=1$$
verildiğinde problem JBMO 2023 #2'ye dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Paydaki eksili terim belki de kesre bir rasyonel sayı ekleyip ortak pay elde edebileceğimizi gösteriyor. Yapalım. Paydaki ilk terimin katsayısı yani $n-1$ eklersek payda $\left(n-1\right)\sum_{cyc}{x_1^p}$ gibi ortak bir ifade geliyor.
$$LHS+n(n-1)=\sum_{cyc- i}{\dfrac{(n-1)x_{i}^p-(n-2)x_{i}^k+x_{i+1}^k+x_{i+2}^k+\cdots+x_{i-1}^k}{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}+n-1}=\sum_{cyc- i}{\dfrac{(n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k}{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}}$$
$$\geq n+n(n-1)=n^2$$
Bu ifadeyi göstermek ispat için yeterlidir. Ortak payı elde ettiğimize göre ortak paranteze alalım
$$\sum_{cyc- i}{\dfrac{(n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k}{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}}=\left((n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k\right)\sum_{cyc- i}{\dfrac{1}{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}}$$
$$\overbrace{\geq}^{Bergstorm} \dfrac{\left((n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k\right).n^2}{\sum\limits_{cyc- i}{{x_{i}^k+x_{i+1}^p+x_{i+2}^p+\cdots+x_{i-1}^p}}}=\dfrac{\left((n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k\right).n^2}{(n-1)\left(x_{1}^p+x_2^p+\cdots+x_n^p\right)+x_{1}^k+x_{2}^k+\cdots+x_{n}^k}=n^2$$
elde ederiz. Son satırdaki paydadaki toplamın paydaki parantez içi ifadeye eşit olduğuna dikkat edelim. O zaman
$$LHS+n\left(n-1\right)\geq n^2\Rightarrow LHS\geq n$$
elde eder ve ispatı tamamlarız. $p=2,k=1$ verildiğinde problen Genelleştirme 1'e dönüşür.