Genelleştirilmiş CentroAmerican 2019 #5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $a+b+c=1$ ise


$$a\sqrt{pa^2+kbc}+b\sqrt{pb^2+kac}+c\sqrt{pc^2+kab}\leq\dfrac{k\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}{2\left(k-2p\right)}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
Her $n\geq 3$ tam sayısı için $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reeller olmak üzere $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$ ise


$$\sum_{cyc- i}{a_i\sqrt{pa_i^2+ka_{i+1}\left(a_{i+2}+a_{i+3}+\cdots+a_n\right)}}\leq\dfrac{k\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}{2\left(k-2p\right)}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2'nin ispatını verelim. Toplamın içini Aritmerik-Geometrik Ortalama'ya makul bir hale getirmeliyiz. Ayrıca bunun sonucunda $(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2$ gibi bir ifade edebiliriz, doğru tercihi yaparsak. Yapalım.
$$\sum_{cyc- i}{a_i\sqrt{pa_i^2+ka_{i+1}\left(a_{i+2}+a_{i+3}+\cdots+a_n\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}\sum_{cyc- i}{\sqrt{\left(\left(\dfrac{k}{2}-p\right)a_1^2\right)\left(pa_i^2+ka_{i+1}\left(a_{i+2}+a_{i+3}+\cdots+a_n\right)\right )}}$$
$$\overbrace{\leq}^{AGO} \dfrac{\sum\limits_{cyc- i}{\left(\dfrac{k}{2}a_i^2+ka_{i+1}\left(a_{i+2}+a_{i+3}+\cdots+a_n\right)\right)}}{\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}=\dfrac{\dfrac{k}{2}\left(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\right)+k\sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}}{\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}$$
$$=\dfrac{\dfrac{k}{2}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2}{\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}=\dfrac{k}{4\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}=\dfrac{k\sqrt{\dfrac{k}{2}-p}}{2(k-p)}$$
$\sum\limits_{cyc}{a_1}=1$ bilgisiyle elde ederiz ve ispatı tamamlarız. $n=3$ verildiğinde problem Genelleştirme 1'e dönüşür.