Simetrik bölünebilme sorusu

[Metin Can Aydemir]

Soru (Metin Can Aydemir): $x$ ve $y$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $$x\mid 3y+1$$ $$y\mid 3x+1$$ olmasını sağlayan tüm $(x,y)$ ikililerini bulunuz.

Sayılar teorisiyle ilgili notlar hazırlıyorum. Bu notlar içerisinde diğer kaynaklardan aldığım sorularla birlikte kendi yazdığım sorular da var. Kendi sorularımı vakit buldukça forumda paylaşacağım.

[geo]

$x=y$ olduğunda $x\mid 3x+1 \Longleftrightarrow x=1$ olacaktır. $(1,1)$ bir çözümdür.

$x<y$ olduğunu kabul edelim.
Sorudaki bilgi $3y+1=ax$ ve $3x+1=by$ şeklinde yazılabilir.
$b<3$ olmalı, aksi takdirde $3x+3\leq by = 3x+1$ olacaktır.
$b=1$ ve $b=2$ için çözümleri arayacağız.

$b=1$ için $$\begin{array}{rcl}
3y+1 &=& ax \\
3x+1 &=& y
\end{array}$$ sistemi $ax = 3(3x+1)+1=9x+4 \Longrightarrow a=9 + \dfrac 4x$ eşitliğine dönüşür. Buradan $x \in \{1,2,4\}$ gelir.
$(1,4),(2,7),(4,13)$ ikilileri çözüm olarak gelir.

$b=2$ için $$\begin{array}{rcl}
3y+1 &=& ax \\
3x+1 &=& 2y
\end{array}$$ sistemi $ax = \dfrac{3(3x+1)}2+1=\dfrac{9x+5}2 \Longrightarrow (2a-9)x=5$ eşitliğine dönüşür. Buradan $x \in \{1,5\}$ gelir.
$(1,2),(5,8)$ ikilileri çözüm olarak gelir.

Simetriden dolayı tüm çözümler $\{(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,7),(4,1),(4,13),(5,8),(7,2),(8,5),(13,4)\}$ olmak üzere $11$ tanedir.

[Metin Can Aydemir]

$3x+1=my$ ve $3y+1=nx$ olsun. $$mnx=3my+m=9x+3+m\implies x\mid m+3$$ olur. $m+3=xk$ yazarsak, $$3x+1=my=(xk-3)y\implies 3x+3y+1=xyk$$ elde edilir. $$3x+3y+1\leq 6\max\{x,y\}+1\leq 6xy+1\leq 7xy$$ olduğundan $k\leq 7$'dir. Ayrıca $3\not\mid 3x+3y+1=xyk$ olduğundan $3\not\mid k$ olacaktır. Dolayısıyla $k=1,2,4,5,7$ olabilir. Ayrıca $3x+3y+1=xyk$ eşitliğini düzenlersek, $$(kx-3)(ky-3)=k+9$$ olacaktır.

$k=1$ ise $(x-3)(y-3)=10$ olacaktır. Buradan $(x,y)=(13,4),(4,13),(5,8),(8,5)$ çözümleri elde edilir.

$k=2$ ise $(2x-3)(2y-3)=11$ olacaktır. Buradan $(x,y)=(2,7),(7,2)$ çözümleri elde edilir.

$k=4$ ise $(4x-3)(4y-3)=13$ olacaktır. Buradan da $(x,y)=(1,4),(4,1)$ çözümleri elde edilir.

$k=5$ ise $(5x-3)(5y-3)=14$ olacaktır. $(x,y)=(1,2),(2,1)$ elde edilir.

$k=7$ ise $(7x-3)(7y-3)=16$ olacaktır. Buradan $(x,y)=(1,1)$ elde edilir.

Tüm çözümler $(x,y)=(13,4),(4,13),(5,8),(8,5),(2,7),(7,2),(1,4),(4,1),(1,2),(2,1),(1,1)$ olacaktır.