USAMO 2003 #5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere

$$\dfrac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \dfrac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \dfrac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \le 8$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Eşitsizliğin homojendir. Homojenlikten dolayı $a+b+c=1$ diyebiliriz. Eşitsizlik şuna dönüşür:

$$\sum_{cyc}{\frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2}}=\sum_{cyc}{\frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1}}=\sum_{cyc}{\frac{1}{3}+\frac{\frac{8a}{3}+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}}=\sum_{cyc}{\left(\frac{8a+2}{3(3a^2-2a+1)}\right)}+1=S$$

Ayrıca $3a^2-2a+1=3\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}\geq \frac{2}{3}$ olduğundan

$$S\leq \sum_{cyc}{\left(\frac{8a+2}{3.\frac{2}{3}}\right)}+1=4(a+b+c)+3+1=8$$
İspat biter.