Genelleştirilmiş Balkan M.O. 2014 #1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{p},k\in \mathbf{R^+}$ ve $\sum_{i=1\to p}{\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{a_{i}}}=k(a_{1}a_{2}\cdots a_{p})$ olmak üzere

$$\sum_{cyc}{a_{1}^{n+1}a_{2}^{n}}\geq (n+1)(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p})-kn$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Soruda verilen bilgi $\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}}=k$.
İstenen eşitsizlik aslında(k yerine yukarıdaki ifadeyi koyarsak)
$$\sum_{cyc}{a_{1}^{n+1}a_{2}^{n}}+n\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_{1}}}\right)\overbrace{\geq}^{AGO}(n+1)(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p})$$

Aritmetik-geometrik ortalamada n katsayısını açıyoruz.