Gönderen Konu: 2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 2  (Okunma sayısı 1260 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
$P(x)$, ikinci dereceden bir polinom olup en az bir katsayısı tam sayı değildir. Her $n$ tam sayısı için $P(n)$ tam sayı ise $R(x)=P(x)- \dfrac12x(x+1)$ polinomunun tam sayı katsayılı bir polinom olduğunu gösteriniz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2012 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 2
« Yanıtla #1 : Ağustos 22, 2023, 02:25:57 ös »
$P(x)=ax^2+bx+c$ olsun. $n\in\mathbb{Z}$ için $P(n+1)$ ve $P(n)$ tamsayı olduğundan farkları da tamsayıdır. Yani $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ polinomunda her $n\in\mathbb{Z}$ için $$Q(n)=P(n+1)-P(n)=2an+a+b\in\mathbb{Z}$$ olacaktır. Benzer şekilde her $n$ tamsayısı için $F(x)=Q(x+1)-Q(x)=2a$ sabit fonksiyonu da tamsayı olacaktır. Buradan $m\in\mathbb{Z}$ için $a=\frac{m}{2}$ formatında bulunur. $Q(n)$'ye dönersek, $$Q(n)=2an+a+b=mn+a+b\in\mathbb{Z}\implies a+b\in\mathbb{Z}\implies 2a+2b\in\mathbb{Z} \implies 2b\in\mathbb{Z}$$ olacaktır. Dolayısıyla $k\in\mathbb{Z}$ için $b=\frac{k}{2}$ formatındadır. Ancak $a+b$ tamsayı olması gerektiğinden $m$ ve $n$'nin pariteleri aynı olmalıdır. Yani $\epsilon\in\{0,1\}$ olmak üzere $u,v$ tamsayıları için $m=2u+\epsilon$ ve $n=2v+\epsilon$ diyebiliriz. Bu durumda $a=u+\frac{\epsilon}{2}$ ve $b=v+\frac{\epsilon}{2}$ bulunur. Bu durumda $$P(x)=ux^2+vx+\frac{\epsilon}{2}x(x+1)+c$$ formatında bulunur. Herhangi bir $n$ tamsayısı için $un^2+vn$ ve $\frac{1}{2}n(n+1)$ tamsayı olduğundan $c$ de tamsayı olmalıdır. Eğer $\epsilon=0$ ise tüm katsayılar tamsayı olacağından çelişki olur. Yani $\epsilon=1$'dir ve buradan $$R(x)=P(x)-\frac{1}{2}x(x+1)=ux^2+vx+c$$ tamsayı katsayılı polinomu elde edilir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal