$P(x)=ax^2+bx+c$ olsun. $n\in\mathbb{Z}$ için $P(n+1)$ ve $P(n)$ tamsayı olduğundan farkları da tamsayıdır. Yani $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ polinomunda her $n\in\mathbb{Z}$ için $$Q(n)=P(n+1)-P(n)=2an+a+b\in\mathbb{Z}$$ olacaktır. Benzer şekilde her $n$ tamsayısı için $F(x)=Q(x+1)-Q(x)=2a$ sabit fonksiyonu da tamsayı olacaktır. Buradan $m\in\mathbb{Z}$ için $a=\frac{m}{2}$ formatında bulunur. $Q(n)$'ye dönersek, $$Q(n)=2an+a+b=mn+a+b\in\mathbb{Z}\implies a+b\in\mathbb{Z}\implies 2a+2b\in\mathbb{Z} \implies 2b\in\mathbb{Z}$$ olacaktır. Dolayısıyla $k\in\mathbb{Z}$ için $b=\frac{k}{2}$ formatındadır. Ancak $a+b$ tamsayı olması gerektiğinden $m$ ve $n$'nin pariteleri aynı olmalıdır. Yani $\epsilon\in\{0,1\}$ olmak üzere $u,v$ tamsayıları için $m=2u+\epsilon$ ve $n=2v+\epsilon$ diyebiliriz. Bu durumda $a=u+\frac{\epsilon}{2}$ ve $b=v+\frac{\epsilon}{2}$ bulunur. Bu durumda $$P(x)=ux^2+vx+\frac{\epsilon}{2}x(x+1)+c$$ formatında bulunur. Herhangi bir $n$ tamsayısı için $un^2+vn$ ve $\frac{1}{2}n(n+1)$ tamsayı olduğundan $c$ de tamsayı olmalıdır. Eğer $\epsilon=0$ ise tüm katsayılar tamsayı olacağından çelişki olur. Yani $\epsilon=1$'dir ve buradan $$R(x)=P(x)-\frac{1}{2}x(x+1)=ux^2+vx+c$$ tamsayı katsayılı polinomu elde edilir.
