Her $n$ pozitif tam sayısı için $2^k \leq n <2^{k+1}$ olacak şekilde bir $k$ pozitif tam sayısının olduğu barizdir.Bu durumda $b_{2^k} \leq b_n$ olacağını da söyleyebiliriz.O halde $\frac{n^2+2}{3} \leq b_{2^k}$ olduğunu gösterirsek $\frac{n^2+2}{3} \leq b_n$ olduğunu da göstermiş oluruz.Şimdi bunu yapmaya çalışalım. $r$, $m$'yi bölen $2$'nin en büyük kuvveti olmak üzere herhangi bir $m$ pozitif tam sayısı $m=2^r.t$ şeklinde yazılabilir.Bu durumda $t$ , $m$'nin en büyük tek böleni olacaktır. $0 \leq r \leq k-1$ için $2$'nin en fazla $r$'inci kuvvetine bölünen ve $2^k$ den küçük olan sayıların kümesi $\{2^r,3.2^r,5.2^r,...,2^r(2^{k-r}-1)\}$'dir.Bu kümedeki sayıların her birinin en büyük tek bölenlerinin oluşturduğu küme ise $\{1,3,5,...,2^{k-r}-1\}$ olacaktır.Şimdi her bir $r$ değeri için en büyük tek bölenlerin kümesini bulalım.
$r=0$ için $\rightarrow$ $1,3,5,...,2^k-1$
$r=1$ için $\rightarrow$ $1,3,5,...,2^{k-1}-1$
$r=2$ için $\rightarrow$ $1,3,5,...,2^{k-2}-1$
...
$r=k-2$ için $\rightarrow$ $1,3$
$r=k-1$ için $\rightarrow$ $1$
Böylelikle $1$'den $2^k-1$'e kadar olan her bir tam sayının en büyük tek bölenini bulmuş olduk.(bunun haricinde de $2^k$ nin en büyük tek böleninin $1$ olduğunu not edelim.).Her bir $r$ değeri için bulduğumuz kümenin elemanlarını toplayacak olursak
$r=0$ için $\rightarrow$ $1+3+5+...+2^k-1=(2^{k-1})^2=2^{2k-2}$
$r=1$ için $\rightarrow$ $1+3+5+...+2^{k-1}-1=(2^{k-2})^2=2^{2k-4}$
$r=2$ için $\rightarrow$ $1+3+5+...+2^{k-2}-1=(2^{k-3})^2=2^{2k-6}$
...
$r=k-2$ için $\rightarrow$ $1+3=2^2$
$r=k-1$ için $\rightarrow$ $1=2^0$
Şimdi bulduğumuz bütün bu değerleri toplayalım ve bu toplama $A$ diyelim.O halde $A=2^0+2^2+2^4+...+2^{2k-4}+2^{2k-2}$ ve $4A=2^2+2^4+2^6+...+2^{2k-2}+2^{2k}$ olacaktır.Bu ifadeleri taraf tarafa çıkaracak olursak:
\[
4A=2^2+2^4+2^6+...+2^{2k-2}+2^{2k}
\]
\[
-A=-2^0-2^2-2^4+...-2^{2k-4}-2^{2k-2}
\]
\[
3A=2^{2k}-1
\] olur.Buradan da $A=\frac{2^{2k}-1}{3}$ bulunur.Bulduğumuz bu değer $1$'den $2^k-1$'e kadar olan tam sayıların en büyük tek bölenlerinin toplamıdır.Son olarak bu toplama $2^k$nin en büyük tek böleni olan $1$'i eklersek
\[
\frac{2^{2k}+2}{3}
\]
elde ederiz.$2^k \leq n$ dolayısıyla $2^{2k} \leq n^2$ olduğundan
\[
\frac{n^2+2}{3} \leq b_n
\]olacaktır.Eşitlik durumu ise yalnızca $n=2^k$ olması durumunda sağlanır.Yani eşitliğin sağlanabilmesi için $n$ , $2$'nin bir kuvveti olmalıdır.Çözüm biter.
