2007 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4

[matematikolimpiyati]

Boş olmayan $A \subset \{2,3,4,5,...\}$ kümesinde aşağıdaki özellik sağlanıyor.

                $n \in A$ ise $(n^2+4) \in A$ ve $([\sqrt{n}]+1) \in A$

$A=\{2,3,4,5,...\}$ olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$A\subset \mathbb{N}$ ve $A\neq \emptyset$ olduğundan $A$'nın en küçük elemanı vardır. Bu eleman $m$ olsun. $\lfloor \sqrt{m}\rfloor +1\in A$ olduğundan $$\lfloor \sqrt{m}\rfloor +1\geq m\implies \sqrt{m}+1\geq m\implies m\geq (m-1)^2$$ $$\implies 0\geq m^2-3m+1\implies 3>m$$ bulunur. Yani $m=2$ olmalıdır. Şimdi $n\in A$ ise $n+1\in A$ olduğunu gösterelim. $$n\in A\implies n^2+4\in A \implies \lfloor \sqrt{n^2+4}\rfloor +1\in A$$ olacaktır. $n\geq 2$ olduğundan $(n+1)^2>n^2+4$ olacaktır. $$n\leq \sqrt{n^2+4}<(n+1)^2\implies \lfloor \sqrt{n^2+4}\rfloor +1=n+1$$ Dolayısıyla $n+1\in A$'dır. $2\in A$ olduğundan tümevarımdan her $n\geq 2$ için $n\in A$'dır. Bu da $A=\{2,3,4,5,\dots\}$ olduğunu gösterir.