Çözüm (Lokman Gökçe): $S = \displaystyle{\sum_{i<j} \dfrac{n_in_j}{n_i + n_j}}$ biçiminde ifade edelim. $a,b>0$ sayıları için $H(a,b) = \dfrac{2ab}{a+b}$, $A(a,b) = \dfrac{a+b}{2}$ olmak üzere; harmonik ortalama - aritmetik ortalama eşitsizliğinden $H(a,b) \leq A(a,b)$ dir. Buna göre $ \dfrac{ab}{a+b} = \dfrac{1}{2}H(a,b) \leq \dfrac{1}{2}A(a,b) = \dfrac{1}{4}(a+b)$ olur.
Şimdi $S$ toplamı $\dfrac{1}{2}H(n_i, n_j)$ biçimindeki terimlerin toplamından oluşmaktadır. $n_1$ teriminin kaç defa işleme girdiğine bakalım. $1<j$ olan her $j$ ile işleme gireceğinden $n_1$ sayısı $99$ defa işlem görür. $n_2$ sayısı da $2<j$ olan her $j$ ile işleme gireceğinden $98$ defa işlem görür. Ayrıca daha önce $n_1$ ile $n_2$ işleme girmişti. Bu yüzden $n_2$ sayısı da $98+1=99$ defa görünür. Benzer fikirle, $n_1, n_2, \dots, n_{100}$ terimlerinin her birinin $99$ defa görüneceğini anlarız.
$$ S = \displaystyle{\dfrac{1}{2}\sum_{i<j} H(n_i, n_j) \leq \dfrac{1}{2}\sum_{i<j} A(n_i, n_j) } = \dfrac{1}{4}\cdot 99 (n_1 + n_2 + \cdots + n_{100}) = \dfrac{1}{4}\cdot 99 \cdot 4 = 99 $$
elde edilir. Eşitlik durumu $n_1 = n_2 = \cdots = n_{100} = \dfrac{1}{25}$ iken sağlanır. $S_{\max} = 99 $ elde edilir.
