Hazırladığım bir geometrik eşitsizlik sorusu

[AtakanCİCEK]

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a$,$b$,$c$ olsun. Ek olarak, $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ ve çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olsun. Bu üçgende $a^8+b^8+c^8<10$ ile $abc=1$ ifadeleri sağlandığına göre

$$\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+\sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}< 10\sqrt{Rr}$$olduğunu gösteriniz.
(İbrahim Atakan Çiçek)

[AtakanCİCEK]

Öncelikle Lokman Gökçe hocamızın paylaşmış olduğu (Petrovic-1932) eşitsizliğini yazalım ve düzenleyelim. (İspatı çözümün altında linkte)

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2$$. Eşitsizliğin her iki tarafına 3 eklersek
$$(\frac{a}{b+c}+1)+(\frac{b}{a+c}+1)+(\frac{c}{a+b}+1)<5$$
$$(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})<5$$
Diğer yandan, üçgende alan formülleri yardımıyla $\frac{abc}{4R}=ur$ olduğunu yani $\dfrac{1}{u}=4Rr$ ifadesini elde ederiz. Bunu yerine koyarsak
$$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}<10Rr$$ olduğunu elde ederiz. Bu eşitsizlik sayesinde ana eşitsizliğimizde Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygulamamız gerektiğini tahmin edebiliriz.

$$\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+\sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}\leq (\sqrt{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}})(\sqrt{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}})<(\sqrt{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}})\sqrt{10Rr}$$ elde edilir. Buradan, $$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}<a^8+b^8+c^8$$
 olduğunu gösterirsek sorudaki başlangıç koşulu ile ana eşitsizliği ispatlamış oluruz.
Bu eşitsizliği ispatlamak için $abc=1$ için $a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$ eşitsizliğini kullanarak yapabiliriz. Ben farklı bir yoldan yapacağım.
Eşitsizliği homojenleştirmek için sağ tarafı $a^3b^3c^3$ ile genişletelim.
İspatlamamız gereken ifade $$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\leq \frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3}+\frac{c^5}{a^3b^3}$$
$A.O.\geq G.O.$ eşitsizliğinden
$$\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3} \geq 2\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c^6}}=2\frac{ab}{c^3}$$
$$\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{c^5}{a^3b^3} \geq 2\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b^6}}=2\frac{ac}{b^3}$$
$$\frac{b^5}{a^3c^3}+\frac{c^5}{a^3b^3} \geq 2\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^6}}=2\frac{bc}{a^3}$$ eşitsizlikleri elde edilir.

Yine $A.O.\geq G.O.$ eşitsizliğinden
$$\frac{ab}{c^3}+\frac{ac}{b^3}\geq 2\sqrt{\frac{a^2bc}{b^3c^3}}=2\frac{a}{bc}$$
$$\frac{ab}{c^3}+\frac{bc}{a^3}\geq 2\sqrt{\frac{ab^2c}{a^3c^3}}=2\frac{b}{ac}$$
$$\frac{ac}{b^3}+\frac{bc}{a^3}\geq 2\sqrt{\frac{abc^2}{a^3b^3}}=2\frac{c}{ab}$$ elde edilir.  En son elde ettiğimiz $3$ eşitsizliği alt alta toplarsak
$$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\leq \frac{ab}{c^3}+\frac{ac}{b^3}+\frac{bc}{a^3}$$ olur. Üstteki 3 eşitsizlik ile birleştirirsek
$$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\leq \frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3}+\frac{c^5}{a^3b^3}=a^8+b^8+c^8<10$$ elde edilir ve ispat biter.

Not1: Euler eşitsizliği olarak bilinen $r\leq \dfrac{R}{2}$ eşitsizliği yardımı ile  $$10\sqrt{Rr}\leq 5\sqrt{2}R$$ elde edilebilirdi.

Üst sınırı ispatladığımıza göre alt sınır bulmak için bir girişimde bulunalım. $A.O. \ge G.O.$  eşitsizliği yardımıyla

$$\dfrac{\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+\sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}}{3}\ge \sqrt[3]{\dfrac{abc}{a^2b^2c^2(b+c)(a+c)(a+b)}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{(b+c)(a+c)(a+b)}}$$  elde edilir.  Sağdaki ifade için sınır elde etmeye çalışalım.

$a+b$, $a+c$ ve $b+c$ için $A.O\ge G.O.\ge H.O.$  eşitsizliğini yazalım ve düzenleyelim.
 $$\dfrac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3} \ge \sqrt[3]{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge \dfrac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}$$

$$\dfrac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}>\frac{3}{2}$$ olduğunu yukardaki Petrovic - (1932) eşitsizliği ile rahatlıkla görebiliriz.Eşitsizliğin sol tarafı için sınır bulurken kuvvet ortalamaları eşitsizliğinden yardım alalım.

$$\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8+c^8}{3}}≥\frac{a+b+c}{3}$$  buradan
$$a+b+c <3\sqrt[8]{\frac{10}{3}}$$
$$2\frac{(a+b+c)}{3}<2\sqrt[8]{\frac{10}{3}}$$
$$\dfrac{1}{2}\sqrt[8]{\dfrac{3}{10}} < \dfrac{1}{\sqrt[3]{(a+b)(a+c)(b+c)}}<\dfrac{2}{3}$$  Alt sınır bulmaya çalıştığımız için eşitsizliğin sol tarafını kullanmamız gerekiyor.

$$\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+\sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}> 3(\dfrac{1}{2}\sqrt[8]{\dfrac{3}{10}})≌ 1,290421$$ olarak elde edilir.

https://geomania.org/forum/index.php?topic=8142.0

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çözüm 2 (Hüseyin Emekçi):
Başlangıç ismayilzadei1387 den ve devamı benden.

$R$ çevrel çember ve $r$ iç teğet çember bize alandan gitmemiz gerektiğini söylüyor. Biz biliyoruz ki:

$$A(ABC) = \frac{abc}{4R} = \frac{a+b+c}{2r}$$.     

 
 Yani
$$ \leftarrow  R.r = \frac{abc}{2(a+b+c)}$$


Soru bu hale dönüşüyor :

$$\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+\sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}<10\sqrt{\frac{abc}{2(a+b+c)}} = 10\sqrt{\frac{1}{2(a+b+c)}}$$

(Hatırlatıcı: abc=1 .)

$abc=1 $ i kullanarak

$$\sqrt{\frac{a}{bc(b+c)}}+\sqrt{\frac{b}{ac(a+c)}}+ \sqrt{\frac{c}{ab(a+b)}}=\sqrt{\frac{a^2}{(b+c)}}+\sqrt{\frac{b^2}{(a+c)}}+\sqrt{\frac{c^2}{(a+b)}}= \sum{\sqrt{\frac{a^2}{b+c}}}$$

Sonra Cauchy kullanarak:

$$\sum{\sqrt{\frac{a^2}{(b+c)}}}$≤$\sqrt{\sum{\frac{3a^2}{(b+c)}}}$=$ \sqrt{3.\sum{\frac{a^2}{(b+c)}}}$$

Yani biz bunu göstermeliyiz :

$$\sqrt{3.\sum{\frac{a^2}{(b+c)}}}<10\sqrt{\frac{1}{2(a+b+c)}}=\sqrt{\frac{50}{a+b+c}}$$

Bizim göstermemiz gereken:

$$3.\sum{\frac{a^2}{(b+c)}<\frac{50}{a+b+c}}$$


Sonrasında Üçgen Eşitsizliğini kullanırsak:

$(b+c)>a$
Bu yüzden:

$$3.\sum{\frac{a^2}{(b+c)}}<3.\sum{a}$$


Bu yüzden biz ispat etmeliyiz ki:

$$3.\sum{a}=3(a+b+c)<\frac{50}{a+b+c}$$

=> $(a+b+c)^2<\frac{50}{3}$      (1)


Problemin başlangıçdaki haline dönersek ve Cauchy uygularsak:                          (2)

$$\sum{\sqrt{\frac{a^2}{(b+c)}}}$≤$\sqrt{\sum{\frac{a}{(b+c)}}.\sum{a}}$$

Bize aşağıdaki eşitsizliği ispat etmek kalıyor:

$$\sqrt{\sum{\frac{a}{(b+c)}}.\sum{a}}<\sqrt{\frac{50}{\sum{a}}}$$

İki tarafın da karesini alalım.

$$\sum{\frac{a}{b+c}}.\sum{a}<\frac{50}{\sum{a}}$$

Göstermemiz gereken:

$$(\sum{a})^2<\frac{50}{\sum{\frac{a}{b+c}}}$$

Biz biliyoruz ki
$$3>\sum{\frac{a}{b+c}}$$

Bu yüzden
$$(\sum{a})^2<\frac{50}{3}<\frac{50}{\sum{\frac{a}{b+c}}}$$

Aşağıdaki eşitsizliği ispat edersek problem biter.

$$(\sum{a})^2<\frac{50}{3}$$
 
Biz bunu (1) de zaten göstermiştik. $(a+b+c)^2<\frac{50}{3}$ olduğunu söylemiştik.İspat biter. H.Y.E.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(2) den sonrasında Atakan Çiçek hocamızın yeni bir çözümü var. $a^8+b^8+c^8$ i çözüme dahil edeceğiz.


Kuvvet Ortalaması Eşitsizliği yardımı ile $\sqrt[8]{\frac{a^8+b^8+c^8}{3}}≥\frac{a+b+c}{3}$ yazalım.

Buradan

     
                   $$a+b+c≤3\sqrt[8]{\frac{10}{3}}$$

                   $$(a+b+c)^2≤9\sqrt[4]{\frac{10}{3}}$$


Ayrıca $\sqrt[4]{\frac{10}{3}}<\frac{3}{2}$


Buradan da
   
     $$(a+b+c)^2≤9\sqrt[4]{\frac{10}{3}}<9.\frac{3}{2}<\frac{50}{3}$$

İspat biter. Alternatif çözümü için Atakan Çiçek hocama teşekkür ederim.