2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$m,n,k$ pozitif tam sayılar ve $\dfrac{m\sqrt5+n}{n\sqrt5+k}$ sayısı da bir rasyonel sayı olsun. Buna göre,

$a)\ m+k \geq 2n$ olduğunu gösteriniz.

$b)\ (m^2+n^2+k^2)$ sayısının $(m+n+k)$ sayısına tam bölündüğünü gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$a)$ Verilen sayının paydasını eşleniği ile çarpalım. $n,k$ tamsayı olduğundan $n\sqrt{5}+k$'nın eşleniği $n\sqrt{5}-k\neq 0$ olacaktır. Buradan $$\frac{m\sqrt{5}+n}{n\sqrt{5}+k}=\frac{(m\sqrt{5}+n)(n\sqrt{5}-k)}{5n^2-k^2}=\frac{(5mn-nk)+(n^2-mk)\sqrt{5}}{5n^2-k^2}=\frac{5mn-nk}{5n^2-k^2}+\frac{(n^2-mk)}{5n^2-k^2}\sqrt{5}$$ olacağından $n^2=mk$ olmalıdır. $m$ ve $k$ pozitif olduğundan $m+k\geq 2\sqrt{mk}=2n$ elde edilir.

$b)$ $a$ kısmından bulduğumuz gibi $n^2=mk$ olmalıdır. Eğer $m_0$ ve $k_0$ karebölensiz sayıları için $m=a^2m_0$ ve $k=b^2k_0$ yazarsak, $m_0k_0$ bir tamkare olacaktır. Ancak $m_0$ ve $k_0$ karebölensiz olduğundan $m_0=k_0$ olmalıdır $(*)$. Buradan $m=a^2c$ ve $k=b^2c$ formatında bulunur. Bu durumda $n=abc$ olacaktır. $$m+n+k=a^2c+b^2c+abc=c(a^2+b^2+ab)$$ $$m^2+n^2+k^2=a^4c^2+b^4c^2+a^2b^2c^2=c^2(a^4+b^4+a^2b^2)=c^2(a^4+b^4+2a^2b^2-a^2b^2)=c^2(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab)$$ elde edilir. Dolayısıyla $$\frac{m^2+n^2+k^2}{m+n+k}=c(a^2+b^2-ab)\in\mathbb{Z}$$ elde edilir. Yani $m+n+k\mid m^2+n^2+k^2$'dir.

Tanım: Kendisini bölen tek tamkarenin $1$ olduğu tamsayılara karebölensiz sayı denir. Ayrıca eğer $s$ karebölensiz bir pozitif tamsayı ise $s=1$ veya $p_i$ farklı asalları için $s=p_1p_2\cdots p_k$ formatında olmalıdır. Bunu kullanarak $(*)$'ı kolaylıkla görebiliriz.