Cevap: $\boxed{C}$
Verilen denklemde her şeyi sol tarafa atalım. $$x^2y^2+4xy-2x^3-5x^2+10x-2y^3-5y^2+10y+25=0$$ olacaktır. Denklem $x$ ve $y$'ye göre simetriktir. Dolayısıyla $f(x,y)\cdot f(y,x)$ şeklinde çarpanlarına ayrılması olasıdır. Ayrıca denklemdeki sabit $+25$ terimi de bunu desteklemektedir. Çarpım sonucunda $x^2y^2$, $xy$, $x^3$ ve sabit terim olmasından dolayı $$f(x,y)=Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+E$$ şeklinde olduğunu varsayabiliriz. Deneyelim, $$f(x,y)f(y,x)=(Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+E)(Ay^2+By+Cx^2+Dx+E)$$ olacaktır. Basit katsayılara bakalım. Öncelikle sabit terim $E^2=25$ olduğundan genelliği bozmadan $E=5$ olsun. $x$ ve $y$'nin katsayıları sırasıyla $DE+EB=5(D+B)=10$ olduğundan $D+B=2$ olacaktır. $xy$'nin katsayısından ise $B^2+D^2=4$ bulunur. Yani $(B,D)=(2,0),(0,2)$ olacaktır. Yine genelliği bozmadan $(B,D)=(2,0)$ kabul edebiliriz. Önceki $E$ kabulü bunu etkilemeyecektir. $x^2y$ ve $xy^2$'nin katsayıları $0$ olmalıdır. Buradan $A=0$ elde edilir. $x^3$ ve $y^3$'ün katsayılarından ise $C=-1$ bulunur. Sonuç olarak $$f(x,y)f(y,x)=(2x-y^2+5)(2y-x^2+5)$$ buluruz ve açtığımızda gerçekten de denklemdeki ifadeye eşit olduğunu görürüz.
Dolayısıyla $x^2=2y+5$ veya $y^2=2x+5$ elde ederiz. Genelliği bozmadan $y^2=2x+5$ olsun. $$x^2+y^2=x^2+2x+5=(x+1)^2+4$$ olduğundan $\min(x^2+y^2)=4$ olur. Minimum değer ise $x=-1$ ve $y=\sqrt{3}$ alındığında sağlanacaktır. Tek eşitlik durumu bu değildir ama bir tane ikili için sağlaması yeterlidir.
