Cevap: $\boxed{E}$
$S=1^1+2^2+3^3+4^4+\ldots+(\ {31!}^{31!})\ $ sayısının $31$ ile bölümünde kalanı bulabilmek için bu sayıyı oluşturan terimleri aralıklara bölelim.
Aralıklarımızı, $1-31$ aralığında ilk $31$ terim , $32-62$ aralığındaki $31$ terim, $63-93$ aralığındaki $31$ terim şeklinde oluşturalım. Toplamda $\frac{31!}{31}=30!$ kadar aralığımız var. $\mod{31}$'e göre kalanlarımız $0,1,2,3,\dots,29,30$'dur. $31k+r$ formundaki sayılar $\mod{31}$'de $r$'ye denktir.
Örnek olarak $r=2$ alalım. $$2^2+\left(31+2\right)^{31+2}+{\left(2\cdot 31+2\right)}^{2\cdot31+2}+\cdots+\left(31k+2\right)^{31k+2}+\equiv 2^2+2^{31+2}+2^{2\cdot 31+2}+\cdots+2^{31k+2}\pmod{31}$$
Küçük fermat teoreminden eğer $p$ asal ve $(a,p)=1$ ise $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$'dir. Buradan $$ 2^2+2^{31+2}+2^{2\cdot 31+2}+\cdots+2^{31k+2}\equiv 2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{k+2}\pmod{31}$$ Toplam $30!$ aralık var. Her aralıkta bir tane $2$ kalanının kuvveti var. $30!=k+2-2+1=k+1$ ve $k=30!-1$'dir. $$ 2^2+2^3+2^4+\cdots 2^{k+2}=2^2\left(1+2^2+2^3+\cdots 2^k\right)\equiv 2^2\cdot\frac{\left(2^{k+1}-1\right)}{2-1}\equiv 2^{k+3}-4\pmod{31}$$ olur. Bunu genelleştirirsek, $2\leq t\leq 30$ için $(31k+t)^{31k+t}$ formatındaki terimler için de $$t^t+t^{t+1}+t^{t+2}+\cdots + t^{k+t}\equiv t^t\cdot \frac{\left(t^{k+1}-1\right)}{t-1}\pmod{31}$$ kalanı elde edilecektir. Yukarıda bulunan ifadeyi $\mod{31}$'de incelersek $$t^t\cdot\frac{\left(t^{k+1}-1\right)}{t-1}\equiv a\pmod{31}$$ olsun.
$$\implies t^t\left(t^{k+1}-1\right)\equiv a\left(t-1\right)\pmod{31}$$ $$\implies t^t\left(t^{30!}-1\right)\equiv a\left(t-1\right)\equiv 0\pmod{31}$$
çünkü küçük fermat teoreminden $\left(t^{30!}-1\right)\equiv\left(1-1\right)\equiv 0\pmod{31}$'dir. Öyleyse $31$'e bölümünden kalanı $2\leq t\leq 30$ aralığındaki olan tüm terimler için $0$ kalanını elde ederiz. Ayrıca $1$ kalanından da $30!$ kadar vardı. Bu kalanda Wilson teoreminden $30!\equiv -1\pmod{31}$ olduğu için tüm toplam $-1$, yani $30$ kalanı vermektedir.
