Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 29

[matematikolimpiyati]

Bir kenar uzunluğu $50$ olan $ABCD$ karesinin iç bölgesinde bir $\Gamma$ çemberi çiziliyor. $A$ ve $B$ den $\Gamma$ çemberine çizilen teğetlerin uzunlukları $40$, $C$ den $\Gamma$ çemberine çizilen teğetin uzunluğu $30$ ise $\Gamma$ çemberinin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$AB$ nin orta noktası $M$, $CD$ nin orta noktası $N$, çemberin merkezi $O$, çemberin yarıçapı $r$ olsun.
$A$ dan ve $B$ den çizilen teğetler eşit olduğu için, $40^2 = AO^2 - r^2 = BO^2 - r^2 \Rightarrow AO = BO$, çemberin merkezi $MN$ üzerindedir.
$O$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $K$ olsun.
$BO^2=40^2+r^2$, $CO^2=30^2+r^2$ olduğu için $BK^2-CK^2=BO^2-CO^2=40^2-30^2=700$.
$BK+CK=50$ olduğu için $BK-CK=14$ ve $BK=32$ elde edilir.
$OK=25$ olduğu için $BO^2=40^2+r^2=32^2+25^2=1649$ ve $r=7$ elde edilir.