Cevap: $\boxed{C}$
Fonksiyonun tanım ve değer kümesinin eleman sayıları eşit olduğundan ve birebir olduğundan, birebir ve örten olmalıdır. $31$ modunda bir ilkel kök alalım, $g$ olsun ($31$ asal sayı olduğundan ilkel kökü vardır hatta tek ilkel kök $3$'tür). $0\leq r_i\leq 30$ için $f(i)\equiv g^{r_i}\pmod{31}$ olsun ($(k,p)=1$ olan her $k$ tamsayısı sabit bir ilkel kökün kuvveti olarak yazılabilir). Ayrıca $g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod{p}$ olduğundan $g^{15}\equiv -1\pmod{31}$'dir. Yani $$\begin{array}{lcl}f(1)f(2)\cdots f(a)+1\equiv g^{r_1+r_2+\cdots+r_a}-g^{15}\pmod{31} & \iff & g^{r_1+r_2+\cdots+r_a}\equiv g^{15}\pmod{31} \\ & \iff & r_1+r_2+\cdots+r_a\equiv 15\pmod{30} \end{array}$$ olacaktır. Olabildiğince çok $a$ değeri için bunun sağlanmasını istiyoruz. Dolayısıyla bu şartı sağlayan iki $a$ değeri için bunlara $a_1<a_2$ dersek, $r_{a_1+1}+r_{a_1+2}+\cdots+r_{a_2}\equiv 0\pmod{30}$ olmalıdır. Bu $a$ değerlerinin sıklığını arttırmak için ara kısımda kalanı $0$ veya $(k,30-k)$ olarak seçebiliriz. Örneğin $$(r_1,r_2,r_3,r_4,\dots, r_{30})=(15,0,1,29,2,28,3,27,\dots,14,16)$$ olarak seçersek $a=1$ ve her çift $1\leq a\leq 30$ tamsayısı için $r_1+r_2+\cdots+r_{a}\equiv 15\pmod{30}$ olur, böylece $16$ tane $a$ değeri için $31\mid f(1)f(2)\cdots f(a)+1$ olan bir fonksiyon bulmuş oluruz.
Eğer $16$'dan fazla $a$ olabilseydi en az iki tane $r_i$'lerde $0$ kullanmamız gerekecekti, bu da birebirlikle çelişir. Cevap $16$'dır.
Ek olarak fonksiyonun kendisini de verelim, $f(1)\equiv 3^{15}\pmod{31}$, $f(2)=1$, $n\geq 3$ için $n$ tekse $f(n)\equiv 3^{\frac{n-1}{2}}\pmod{31}$ ve $n$ çiftse $f(n)\equiv 3^{31-\frac{n}{2}}\pmod{31}$ olarak seçilebilir.
