Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta $1,2,3,4,5,6$ sayılarının yazılı olduğu bir tahtada Aslı bir oyun oynuyor. Aslı her hamlesinde tahtadan önce bir $a$ sayısı sonra da bir $b$ sayısı seçiyor. $x^2-ax+b$ polinomunun iki kökü de pozitif tam sayıysa, Aslı $a$ ve $b$ sayılarını silip yerine bu polinomun iki kökünü yazmaktadır. Aslı, sonlu sayıda hamle sonucunda tahtadaki sayıların çarpımını $14,16,20,24,32$ sayılarından kaç tanesini yapabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $(a,b)\to (x_1,x_2)$ şeklinde bir dönüşüm yapıldığında $x_1,x_2$ pozitif tamsayı olduğundan, $x_1,x_2<x_1+x_2=a$ ve $x_1,x_2\leq x_1x_2=b$ olacaktır ve bu yüzden, $6$'dan büyük bir sayı elde edilemez. Dolayısıyla $7$ veya $7$'nin herhangi bir katı elde edilemeyecektir. Dolayısıyla da sayıların çarpımı $14$ olamaz.

Ayrıca $6$'yı yok etmemiz gerekiyorsa bunun da yolları sadece $(5,6)\to (2,3)$ veya $(6,5)\to (1,5)$ dönüşümü yapmaktır. Benzer şekilde $3$'ü yok etmenin tek yolu da $(3,2)\to (1,2)$'dir. $3$'e bölünmeyen bir çarpım elde etmek için $6$ ve $3$'ü yok etmeliyiz. Bunun için $(6,5)\to (1,5)$ ve $(3,2)\to (1,2)$ kullanırsak $1,1,1,2,4,5$ sayılarını elde ederiz. Eğer $(5,6)\to (2,3)$ ve iki defa $(3,2)\to (1,2)$ kullanırsak $1,1,1,2,2,4$ elde ederiz. Aslında ikinci yolla $16$'yı elde etmiş olduk. Sayıları daha da büyültemeyeceğimizden, ikinci yolla en fazla $16$'yı elde ederiz. Diğer $3$'ün katı olmayan sayılar için ilk yoldan devam etmeliyiz.

$1,1,1,2,4,5$ için $20$ ve $32$'yi elde etmeye çalışalım. $(2,1)\to (1,1)$ dönüşümünden $1,1,1,1,4,5$ elde ederiz ve çarpımları $20$ olur.

$32$'yi elde etmek için $5$'i $4$ ile değiştirmek gerekmektedir. Yani $(a,5)\to (a,4)$ veya $(5,a)\to (a,4)$ şeklinde bir dönüşüm olmalıdır. Ancak ikisinde de uygun $a$ bulunmaz. Dolayısıyla $32$'yi elde edemeyiz.

$24$'ü elde etmek için $6$ veya $3$'den bir tanesini yok etmeliyiz. $1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ olduğundan $5$ ve $6$'yı yok etmeye odaklanabiliriz ancak yok ederken $1$ elde etmeliyiz. Buradan $(6,5)\to (1,5)$ ve $(5,4)\to (1,4)$ dönüşümlerini uygularsak $1,1,1,2,3,4$ sayılarını elde etmiş oluruz ve çarpımları $24$ olur.

Dolayısıyla sadece $16,20,24$ sayıları elde edilebilir.

[Sonlu4k]

Yanıt: C)

İlk önce 6'yı yok ettiğimiz durumlara bakalım. 6'yı yok etmenin 2 yolu vardır. Bu yollar:(5,6)=>(2,3) ve (5,6)=>(5,1)dir. Bu 6'yı yok ettiğimiz durumlarda sayılar (1,2,1,4,2,1) / (1,1,1,4,1,5)/ (1,2,3,4,1,1) oluyor yani çarpımlar sırasıyla (16,20,24) olur. 6'yı yok ettiğimiz tüm durumlar bunlardı o yüzden kalan durumlarda 6 bulunacak ve çarpım 6'nın katı olacak. Bundan dolayı (14,16,32) sayıları çıkartılamaz.

Cevap: 16,20,24 durumları. 3 durum vardır. C) seçeneği.