Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde köşelerden farklı bir $D$ noktası alınıyor. $|AB|=|AD|$, $\dfrac{|CD|}{|BD|}=3+2\sqrt3$, $m(\widehat{ACB})=15^{\circ}$ ise $m(\widehat{ABC})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Açı sorulduğundan ve verilen bilgiler oran olduğundan genelliği bozmadan $|BD|=2$ ve $|CD|=6+4\sqrt{3}$ kabul edebiliriz. $A$'dan inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $|AB|=|AD|$ olduğundan $|BH|=|HD|=1$ olacaktır. $|AH|=h$ diyelim. $AHC$ üçgeni $15^\circ-75^\circ-90^\circ$ üçgeni olduğundan $\frac{|AH|}{|HC|}=\frac{h}{7+4\sqrt{3}}=\tan{15^\circ}$ olacaktır. $15^\circ-75^\circ-90^\circ$ üçgeninin kenarları oranıyla ilgili birçok ispat yöntemi var aslında ama trigonometri üzerinden gideceğim. $$\tan 30^\circ=\frac{2\tan{15^\circ}}{1-\tan^2 15^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ olduğundan $\tan{15^\circ}=x$ dersek çıkacak ikinci dereceden denklemin pozitif kökünden $x=2-\sqrt{3}$ bulunacaktır. Buradan da $h=(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$ elde edilir.

$15^\circ-75^\circ-90^\circ$ üçgeninde dik köşeden inilen dikme hipotenüsün $4$'te biridir. $4h=|BC|$ sağlanıldığından ve bir açı $15^\circ$ olduğundan $m(\widehat{ABC})=75^{\circ}$ bulunur.

Az önceki lemmayı bilmeseydik de $ABH$ üçgeninin dik kenarlarını bildiğimizden açıları deneyerek de bulabilirdik.