Cevap: $\boxed{E}$
Birinci Yol: $x=k$ koyarsak, $$\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+3}=\frac{1}{k+1}$$ olacaktır. $yz$'nin sabit çıkmasını istiyoruz. $$\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+3}=\frac{1}{k+1}\implies \frac{2yz+3y+2z}{yz+3y+2z+6}=\frac{1}{k+1}\implies (2k+1)yz+3ky+2kz-6=0$$ $k=-\frac{1}{2}$ ise $3y+2z=-12$ olacaktır. Buradan $(y,z)=(0,-6), (2,-9)$ gibi çözümler buluruz. $yz$ sabit olmadığından aradığımız $k$ bu değildir.
$k\neq -\frac{1}{2}$ için $$(2k+1)^2yz+3k(2k+1)y+2k(2k+1)z-6(2k+1)=0\implies \left[(2k+1)y+2k\right]\left[(2k+1)z+3k\right]=18k+6$$ olacaktır. $18k+6=ab$ için $y=\frac{a-2k}{2k+1}$ ve $z=\frac{b-3k}{2k+1}$ çözümü elde ederiz. Öncelikle $y\neq -2$ ve $z\neq -3$ olması gerektiğinden $a\neq -2k-2$ ve $b\neq -3k-3$ olmalıdır. $$(2k+1)^2yz=(a-2k)(b-3k)=ab-3ak-2bk+6k^2=6k^2+18k+6-k(3a+2b)$$ olduğundan $yz$'nin sabit olabilmesi için $k=0$ veya $3a+2b$ sabit olmalıdır.
$k=0$ ise $y=a$ ve $z=b$ olacağından $yz=ab=18k+6=6$ olmalıdır ve buradan $(k,l)=(0,6)$ elde edilir. $k+l=6$'dır.
$k\neq 0$ ise $3a+2b$ sabit olmalıdır. $a\neq -2k-2$ ve $a\neq -\frac{6k+2}{k+1}$ (çünkü $b\neq -3k-3$) olmasının yeterli olduğunu göz önünde bulundurarak herhangi bir $k$ için $a$'yı verilen iki değer dışında seçip $3a+2b=3a+\frac{36k+12}{a}$'yi sonsuz farklı değer bulabileceğimiz aşikardır, çünkü $a$ bir reel sayıdır. Dolayısıyla $3a+2b$ sabit değildir.
Dolayısıyla sadece $(k,l)=(0,6)$ olabilir. Buradan da $k+l=6$ bulunur.
İkinci Yol: $x=k$ koyarsak $$\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+3}=\frac{1}{k+1}$$ olur. Eğer $l\neq 0$ ise $y=0$ koyduğumuzda herhangi bir $z$ çözümü elde edememeliyiz. Yani $$\frac{z}{z+3}=\frac{1}{k+1}\implies z=\frac{3}{k}$$ tanımsız olmalıdır. Buradan $k=0$ bulunur. Ana denklemde yerine koyarsak, $$\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+3}=1\implies \frac{2yz+3y+2z}{yz+3y+2z+6}=1\implies yz=6$$ bulunur. Yani $k=0$ ve $l=6$ istenileni sağlar.
Eğer $l=0$ ise tüm çözümler için ya sadece $y=0$ ya da $z=0$ gelmelidir. Yani tüm çözümler $(y,z)=\left(\frac{2}{k},0\right),\left(0,\frac{3}{k}\right)$ olmalıdır. Bu durumda $k\neq 0$ olacağı barizdir. Eğer $y=\frac{1}{k}$ seçersek çözüm gelmemelidir. Yerine yazdığımızda $$\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+3}=\frac{1}{2k+1}+\frac{z}{z+3}=\frac{1}{k+1}\implies \frac{z}{z+3}=\frac{k}{2k^2+3k+1}\implies z=\frac{3k}{2k^2+2k+1}$$ tanımsız olmalıdır ancak $2k^2+2k+1$'in kökü olmadığından bu kesir her zaman tanımlıdır. Dolayısıyla ilk baştaki $2$ çözümden farklı bir çözüm bulduk ve bu bir çelişkidir.
Tek durum $(k,l)=(0,6)$ olmasıdır. Buradan $k+l=6$ bulunur.
