Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$a^3+4a^2b-3ab^2-18b^3=2023$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Sol taraftaki $a^3+4a^2b-3ab^2-18b^3$ kısmını çarpanlarına ayırmak için $\frac{a}{b}=t$ diyebiliriz. Bu dönüşüm ile sol taraf $b^3(t^3+4t^2-3t-18)$ olacaktır ve paydaki polinomu çarpanlarına ayırarak asıl denklemi çarpanlarına ayırabiliriz. Bu kısmı geçiyorum, çarpanlarına ayrılmış hali $$(a - 2 b) (a + 3 b)^2=2023=7\cdot 17^2$$ olacaktır. $2023$'ün tamkare bölenleri sadece $1$ ve $17^2$'dir. Buradan $$a-2b=2023, \quad a+3b=1$$ $$a-2b=2023, \quad a+3b=-1$$ $$a-2b=7, \quad a+3b=17$$ $$a-2b=7, \quad a+3b=-17$$ olabilir. Bu lineer denklem sistemlerini çözersek, $(a,b)=(11,2)$ tamsayı ikilisi buluruz. Tek çözüm vardır.