Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$2^n+3^n+5^n$ sayısının $100$ ile tam bölünmesini sağlayan $2023$ ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 50  \qquad\textbf{b)}\ 101  \qquad\textbf{c)}\ 150  \qquad\textbf{d)}\ 202  \qquad\textbf{e)}\ 251$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevabımız D'dir.

Burada n'e bağlıyız ve bir yerde bir örüntü elde etmemiz gerekeceği anlaşılıyor. N=1 ise 10, 100'e tam bölünmez ve bu bir çözım değildir. N>1 ise , 5^n in mod 100'de jep 25 değerini alacağını kullanmalıyız. N=2 için 4+9+25  , n=3 ,... n=20 yazdığımızda daha örüntüyü yakalamamış oluyoruz. N=21 yazdığımıza ise  geri n=2 hâline indirgeniyor ve 4+9+25 oluyor. Bunun yine aynı sayılarla çarpılacağı için böyle devam edeceği açıktır. O zaman biz n=1 i attıktan sonra n=2 yi başa alıp aslında 20 ögeli örüntüler elde ediyoruz ve birini incelesek ve kaç örüntü grubunun olduğunu bulsak cevaba ulaşacağız. Örüntüdeki öge sayısı 20'dir ve örüntüde mod 100'de 0'a denk olan üçlüler n=5 ve n=15'tir. Yani 2 tanedir. Örüntü ögemiz 20, bize verilen n 2023 tane ve n=1 i attığımızda 2022 tane kalır. Bizim burada [2022/20](Tam Değer Fonksiyonu*) nu bulmamız lazım. Bu da 101'dir.Örüntü grupları sayımız 101, her örüntüde 2 tane sağlayan üçluler var. O zaman toplam 202 tane çözümümüz vardır. Ayrıca 2021 ve 2022 de n=3ve n=4 durumları ile benzerdir ve n=5'e yaklaşamamıştır. Eğer n, 2025  olsaydı ve 2024 tane n=2 den başlayan toplam ögemiz olsaydı, o zaman cevap 203 olurdu. Kim bilir, belki o sene benzer bir soru sorarlar Cevabımız 202'dir.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Çin kalan teoreminden $$2^n+3^n+5^n\equiv 0\pmod{100}\iff 2^n+3^n+5^n\equiv 0\pmod{4}\text{   ve   }2^n+3^n+5^n\equiv 0\pmod{25}$$ olacaktır. $n=1$ için $0$ kalanı gelmediğinden $n\geq 2$ kabul edebiliriz ve buradan $$2^n+3^n+5^n\equiv 0\pmod{100}\iff 3^n+5^n\equiv 0\pmod{4}\text{   ve   }2^n+3^n\equiv 0\pmod{25}$$ olacaktır. $$3^n+5^n\equiv (-1)^n+1\equiv 0\pmod{4}\iff n\equiv 1\pmod{2}$$ olur. $n$'nin tek olmasını kullanarak $$2^n+3^n\equiv 2^n+(5-2)^n\equiv 2^n+\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}5^{k}(-2)^{n-k}\equiv 2^n+\dbinom{n}{0}(-2)^n+\dbinom{n}{1}5\cdot (-2)^{n-1}\equiv 5n\cdot 2^{n-1}\equiv 0\pmod{25}$$ $$\iff n\equiv 0\pmod{5}$$ bulunur. Dolayısıyla $n\geq 2$ için $$2^n+3^n+5^n\equiv 0\pmod{100}\iff n\equiv 5\pmod{10}$$ elde edilir.

$10k+5$ formatındaki sayılar $5,15,25,\dots,2015$ olmak üzere $\frac{2015-5}{10}+1=\boxed{202}$ tanedir. Hatırlamayanlar için aritmetik dizideki eleman sayısı $\frac{\text{Son terim}-\text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}}+1$ olarak hesaplanır.