Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 05

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay ve dış açıortay uzunlukları birbirine eşit ise $2 \cdot \widehat{A} + 3 \cdot \widehat{B} + \widehat{C}$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 360^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 420^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 540^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 630^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$m(\widehat{A})=2x$, $m(\widehat{C})=y$ olsun. $A$ köşesinden geçen iç ve dış açıortay $BC$ doğrusunu sırasıyla $D$, $E$ noktalarında kessin. $m(\widehat{ADE})=x+y$ dir. $|AD|=|AE|$ ve $AD \perp AE$ olduğundan $x+y=45^\circ$ dir. Böylece $m(\widehat{B})=135^\circ - x$ tir. Buradan,

$$ 2 \cdot m(\widehat{A}) + 3 \cdot m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 4x + 3(135^\circ - x) + y = 405^\circ + x + y = 450^\circ $$

bulunur.