Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$3^{p^2+p+1}+7^{p^2+p+1}$ sayısının $p$ ile bölünmesini sağlayan kaç tane $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Fermat veya Euler-Phi ye göre bizim burada üslerde (p-1) çarpanından kalanı bulmamız lazım. P²-p+1=p(p-1)+2p+1= (p-1)(p+2) +3 tür. Ve Fermat'a göre aslında bu iki sayının toplamı p modunda 3³+7³ ' e eşittir. Ve p ye bölünmesini istiyorska bu sayıya da bölünmelidir. 3³+7³= 27+343=370 tir ve 370 in asal bölenleri 2,5,37 dir. Tam 3 tane bulunmaktadır. Cevap B'dir.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Fermat teoreminden $3^p\equiv 3\pmod{p}$ ve $7^p\equiv 7\pmod{p}$'dir. Burada $p$ için asallık dışında herhangi bir kısıtlama yoktur. $$3^{p^2+p+1}\equiv \left(3^{p}\right)^p\cdot 3^{p}\cdot 3\equiv 3^p\cdot 3\cdot 3\equiv 27\pmod{p}$$ $$7^{p^2+p+1}\equiv \left(7^{p}\right)^p\cdot 7^{p}\cdot 7\equiv 7^p\cdot 7\cdot 7\equiv 343\pmod{p}$$ $$\implies 3^{p^2+p+1}+7^{p^2+p+1}\equiv 27+343\equiv 370\pmod{p}$$ olacağından $p\mid 370$ olmalıdır. $370=2\cdot 5\cdot 37$ olduğundan $p=2,5,37$ olabilir. Bu değerler için sağlama yapmamıza gerek yoktur çünkü yukarıdaki işlemlerin aynısından çıkacaktır.