Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$28^{(28^{28})} + 29^{(29^{29})} + 30^{(30^{30})}$ toplamının $31$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 17$

[ygzgndgn]

Cevap A.

Fermat'nın Küçük Teoremi'nden 28, 29 ve 30; 31 ile aralarında asal olduğundan ötürü 28^30≡29^30≡30^30≡1 (mod 31)'dir. Demek ki soruyu çözmemiz için 28^28, 29^29 ve 30^30 ifadelerini mod 30'da incelememiz gerekecek.

30^30≡0 (mod 30) olduğu açıktır. Dolayısıyla 30^(30^30)≡1 (mod 31) olur.

29^29≡(-1)^29≡-1≡29 (mod 30)'dur. Buradan 29^(29^29)≡29^29 (mod 31) olduğu bulunur. 29^29≡(-2)^29 (mod 31)'dir. Ancak (-2)^5≡-32≡-1 (mod 31) olduğunu biliyoruz. (-2)^29≡((-2)^5)^4*(-2)^9≡(-1)^4*-512≡-512≡-16≡15 (mod 31) eder. Demek ki 29^(29^29)≡15 (mod 31)'dir.

28^28≡(-2)^28≡2^28≡2^3*(2^5)^5≡2^3*2^5≡2^8≡256≡16 (mod 30)'dur. Buradan 28^(28^28)≡28^16≡3^16 (mod 31) olduğu bulunur. 3^15≡-1 (mod 31) olduğunu biliyoruz. 3^16≡3*3^15≡3*(-1)≡28 (mod 31) bulunur. Demek ki 28^(28^28)≡28 (mod 31)'dir.

Son olarak bu değerler toplanırsa 28+15+1≡44≡13 (mod 31) olduğu bulunur. Cevabımın on üçtür.