Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta bir tahtada $1$ sayısı yazılıdır. Ali her defasında tahtadaki sayıyı silip yerine o sayının $4$ katının $3$ fazlasını veya $7$ katının $3$ eksiğini yazıyor.

$2023^2+2, 2^{31}, 28^{31}, 2^{2023}-1$ sayılarından kaçı tahtada yazılı olan bir sayı olabilir?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[vedatde]

Başlangıçta tahtada yazılı olan sayı x olsun.
$Mod$ $3$ de başlangıç sayısı ve sonradan elde edilecek sayılar inceleyelim.
$x\equiv a\equiv1$  $Mod$ $3$
Elde edilecek sayılar Mod 3 de
$4a+3\equiv a$  $ Mod$  $3$
$7a-3\equiv a$  $Mod$ $3$ olmaktadır.
Yani elde edilecek sayılar başlangıç sayısının Mod 3 deki dengidir.
Öyleyse     $2023^2+2≡0$    $Mod$ $3$    ve bu sayı elde edilemez.
$2^{31}\equiv2$  $Mod$ $3$ ve bu sayıda elde edilemez.
${28}^{31}\equiv1$ elde edilebilir. Ancak son işlemden önceki işlemde elde edilen sayı a ise
$4a+3={28}^{31}\ $ olmalıdır. Bu sayıyı Mod 4 de incelersek
$4a+3\equiv{28}^{31}\ $ $Mod$ $4$
$3\equiv0\ $  $Mod$ $4$ çelişkisi elde edilir.
Öyleyse bu sayı da elde edilemez. O zaman Mod 7 de inceleyelim.
$7a-3\equiv{28}^{31}\ $ $Mod$ $7$
$0-3\equiv0$  $Mod\ 7$
$4\equiv0$ $Mod$ $7$ çelişkisi elde edilir.
Her iki durumda çelişki olduğu için bu sayı kesinlikle elde edilemez.
$2^{2023}-1\equiv1$  $Mod$ $3$ Bu sayı elde edilebilir.
Ancak son işlemden önceki işlemde elde edilen sayı a ise
$4a+3\equiv2^{2023}-1$  $Mod$ $4$
$4a+4\equiv\ 2^{2023}\  $  $Mod$ $4$
$0\equiv0$ $Mod$ $4$ ve bu sayı elde edilebilir.
$2^{2023}-1$  elde edilebilir, diğer sayılar elde edilemez.