Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 20

[matematikolimpiyati]

Bir doğru üzerinde soldan sağa doğru $1,2,...,2023$ sayılarıyla numaralanmış $2023$ boş kutu bulunuyor. İlk işlemde numarası $3$ ile bölünen tüm kutulara birer kırmızı şeker yerleştiriliyor. İkinci işlemde numarası $5$ ile bölünen tüm kutulara birer beyaz şeker yerleştiriliyor. Aslı bu kutulardan rastgele $N$ tanesini seçiyor ve seçtiği tüm kutulardaki şekerlerin hepsini yiyor. Aslı her olası durumda her iki renkten de en az bir şeker yiyorsa, $N$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 1614  \qquad\textbf{b)}\ 1616  \qquad\textbf{c)}\ 1618  \qquad\textbf{d)}\ 1620  \qquad\textbf{e)}\ 1622$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{D}$

İlk başta kutuların içlerindeki şekerlerin niteliğine göre sayılarını bulalım. $[2023/3]=674, [2023/5]=404, [2023/15]=134$ olur. Demek ki içerisinde kırmızı şeker olan kutu sayısı $674$, beyaz şeker olan kutu sayısı $404$, hem kırmızı hem de beyaz şeker olan kutu sayısı $134$ imiş. Bu verilerden içerisinde sadece kırmızı şeker olan kutu sayısının $674-134=540$, sadece beyaz şeker olan kutu sayısının $674-404=270$ olduğu görülür. Bunun yanında içinde şeker olan kutuların toplam sayısı $540+270+134=944$ olarak bulunur. İçerisinde şeker olmayan kutuların sayısı ise $2023-944=1079$ gelir. Güvercin yuvası prensibi gözetilerek Aslı'nın hiç şeker olmayan kutuların tamamı, sadece kırmızı şeker içeren kutuların tamamı ve içerisinde beyaz şeker bulunduran kutulardan birini seçtiği durum düşünülürse Aslı'nın en az $1079+540+1=1620$ şeker seçmesi durumunda her iki renkten de en az bir şeker yemesinin garantilendiğini görürüz. $N$'nin en küçük değeri $1620$ olarak bulunur.