Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$A$ ve $B$ noktaları arasındaki düz bir yolda $X$ ve $Y$ arabaları; $X$, $A$'dan $B$'ye doğru, $Y$ ise $B$'den $A$'ya doğru olmak üzere aynı anda harekete başlıyorlar. Arabaların her birinin hızı sabittir. $X$ arabası yolun yarısına vardıktan tam $60$ dakika sonra $Y$ ile karşılaşıyor. $Y$ arabası $X$ ile karşılaştıktan tam $75$ dakika sonra yolun yarısına varıyor. Buna göre, $X$ arabası başlangıçtan kaç saat sonra $B$ noktasına varmıştır?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 22$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$X$'in hızı $v_x$ $\text{br/dk}$ ve $Y$'nin hızı $v_y$ $\text{br/dk}$ olsun. Yol uzunluğu ise $2\ell$ birim olsun. $X$ arabası yolun yarısına vardığında $\frac{\ell}{v_x}$ dakika geçmiştir. Bu durumda $Y$ aracı da $\frac{\ell v_y}{v_x}$ birim yol katetmiştir. Bu andaki aralarındaki mesafe $\frac{\ell (v_x-v_y)}{v_x}$ olacaktır. $60$ dakika sonra karşılaştıklarından dolayı $$\frac{\ell (v_x-v_y)}{v_x(v_x+v_y)}=60\tag{1}$$ olacaktır. Ayrıca sorunun mantığı gereği $v_x>v_y$ olmalıdır. $Y$ aracı $X$ ile karşılaşana kadar $\frac{\ell}{v_x}+60$ dakika geçeceğinden, tüm yolu $\frac{\ell}{v_x}+135$ dakikada alacaktır. Yani $$\frac{\ell}{v_y}=\frac{\ell}{v_x}+135\implies \frac{\ell(v_x-v_y)}{v_xv_y}=135\tag{2}$$ olacaktır. $(1)$ ve $(2)$'deki denklemleri birbirine bölersek, $$\frac{\frac{(v_x-v_y)}{(v_x+v_y)}}{\frac{(v_x-v_y)}{v_y}}=\frac{v_y}{(v_x+v_y)}=\frac{4}{9}\implies \frac{v_y}{v_x}=\frac{4}{5}$$ olacaktır. Buradan da $\frac{v_x-v_y}{v_x+v_y}=\frac{1}{9}$ elde edilir. $(1)$'de yerine yazarsak, $$\frac{\ell}{v_x}=9\cdot 60\implies \frac{2\ell}{v_x}=18\cdot 60$$ olacaktır. Yani $X$ aracı tüm yolu $18\cdot 60$ dakikada, veya $18$ saatte tamamlayacaktır.